2020高中数学 章末综合测评1 计数原理 新人教A版选修2-3

2020高中数学 章末综合测评1 计数原理 新人教A版选修2-3

章末综合测评(一)　计数原理 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　)‎ A．24个　　　　　　　　 B．30个 C．40个 D．60个 A　[将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．]‎ ‎2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　) ‎ ‎【导学号：95032107】‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 A　[利用分步乘法计数原理求解．‎ 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．‎ 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．‎ 因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．]‎ ‎3．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是(　　)‎ A．10 B．20‎ C．40 D．60‎ B　[先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，有C，乘余的有2种排法，共有2×C＝20种．]‎ ‎4．已知C－C＝C(n∈N*)，则n＝(　　)‎ ‎ 【导学号：95032108】‎ A．14 B．15‎ C．13 D．12‎ D　[由组合数性质知，C＋C＝C，所以C＝C，所以6＋7＝n＋1，得n＝12.]‎ ‎5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)‎ A．1 440种 B．960种 6‎ C．720种 D．480种 B　[先将5名志愿者排好，有A种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同排法‎4AA＝960种．]‎ ‎6．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)‎ ‎ 【导学号：95032109】‎ A．展开式中的二项式系数之和为1 024‎ B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 C　[由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．]‎ ‎7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)‎ A．－40 B．－20‎ C．20 D．40‎ D　[由题意，令x＝1得展开式各项系数的和(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.‎ ‎∵二项式的通项公式为Tr＋1‎ ‎＝C(－1)r·25－r·x5－2r，‎ ‎∴展开式中的常数项为 x·C(－1)322·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40，故选D.]‎ ‎8．某学习小组男、女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为(　　)‎ A．男2人，女6人 B．男3人，女5人 C．男5人，女3人 D．男6人，女2人 B　[设男生x人，女生(8－x)人，列方程：C·C·A＝90.解得x＝3，∴8－x＝5.]‎ ‎9．如图13，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(　　)‎ 6‎ 图13‎ A．320 B．160‎ C．96 D．60‎ A　[根据分步乘法计数原理，区域①有5种颜色可供选择，区域③有4种颜色可供选择，区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可，故有4种颜色可供选择，所以不同涂色方法有5×4×4×4＝320种．]‎ ‎10．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为(　　) ‎ ‎【导学号：95032110】‎ A．29 B．49‎ C．39 D．59‎ B　[由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.]‎ ‎11．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(　　)‎ A．1 543 B．2 543‎ C．3 542 D．4 532‎ C　[千位数为1时组成的四位数有A个，同理，千位数是2,3,4,5时均有A(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为‎3A＝72，即3 542是第72个．]‎ ‎12．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　　)‎ ‎ 【导学号：95032111】‎ A．－4 B．－2‎ C．2 D．4‎ C　[(1＋2)3的展开式的通项为Tr＋1＝C(2)r＝2rCx，(1－)5的展开式的通项为Tr′＋1＝C·(－)r′＝(－1)r′Cx，因此，(1＋2)3(1－)5的展开式的通项为(－1)r′·2r·C·C·x.当＋＝1时有r＝0且r′＝3或r＝2且r′＝0两种情况，则展开式中x的系数为(－10)＋12＝2.]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝‎4A，则a 6‎ 的值是________．‎ ‎2　[对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)r·x，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝‎4A，a>0，‎ ‎∴a＝2.]‎ ‎14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)‎ ‎90　[先分组，再把三组分配乘以A得：A＝90种．]‎ ‎15．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________. ‎ ‎【导学号：95032112】‎ ‎0　[Tr＋1＝Cx21－r(－1)r，‎ ‎∴a10＝C(－1)11，a11＝C(－1)10，‎ ‎∴a10＋a11＝－C＋C＝－C＋C＝0.]‎ ‎16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有________种．‎ ‎432　[由题意知，可分为三类：‎ 第一类，文化课之间没有艺术课，有A·A种；‎ 第二类，文化课之间有一节艺术课，有A·C·C·A种；‎ 第三类，文化课之间有两节艺术课，有A·A·A种．‎ 故共有AA＋ACCA＋AAA＝432种安排方法．]‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x－6|＜3，x∈N*}，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？‎ ‎ 【导学号：95032113】‎ ‎[解]　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．‎ 从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．‎ ‎18．(本小题满分12分)设的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．‎ ‎[解]　T7＝C()n－6，‎ 6‎ Tn＋1－6＝Tn－5＝C()6.‎ 由∶＝1∶6，‎ 化简得6＝6－1，所以－4＝－1，解得n＝9.‎ 所以T7＝C()9－6＝C×2×＝.‎ ‎19．(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法数．‎ ‎(1)A，B必须被选出；‎ ‎(2)至少有2名女生被选出；‎ ‎(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5个不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．‎ ‎[解]　(1)除A，B选出外，从其他10个人中再选3人，共有选法数为C＝120.‎ ‎(2)按女生的选取情况分类：选2名女生3名男生；选3名女生2名男生；选4名女生1名男生；选5名女生．所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.‎ ‎(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的10人中任选3人担任其他3个职务．由分步乘法计数原理可得到所有选法数为CCA＝25 200.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.‎ ‎(1)求m，n的值．‎ ‎(2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数.‎ ‎ 【导学号：95032114】‎ ‎[解]　(1)由题意，2n＝32，则n＝5.‎ 由通项Tr＋1＝Cmrxr(r＝0,1，…，5)，则r＝3，‎ 所以Cm3＝80，所以m＝2.‎ ‎(2)即求(1＋2x)5(1－x)6展开式中含x2项的系数，‎ ‎(1＋2x)5(1－x)6＝[C＋C(2x)1＋C(2x)2＋…](C－Cx＋Cx2＋…)‎ ‎＝(1＋10x＋40x2＋…)(1－6x＋15x2＋…)，‎ 所以展开式中含x2项的系数为1×15＋10×(－6)＋40×1＝－5.‎ ‎21．(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？‎ 6‎ ‎[解]　法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：‎ ‎(1)4个名额全部给某一个班级，有C种分法；‎ ‎(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C种分法；‎ ‎(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A种分法；‎ ‎(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C·C种分法；‎ ‎(5)分给四个班，每班1个，共有C种分法．‎ 故共有N＝C＋C＋A＋C·C＋C＝126种分配方法．‎ 法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C＝126种放法．‎ 故共有126种分配方法．‎ ‎22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1

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