2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期第二次月考数学（筑梦班）试题

2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期第二次月考数学（筑梦班）试题

考试时间：2019年12月12-13日 上饶中学2019-2020学年高一上学期第二次月考 数学试卷（筑梦班）‎ 考试时间：120分钟 分值：150分 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在下列结论中，正确的为（ ）‎ A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．向量就是有向线段 D．零向量是没有方向的 ‎2．已知角的终边上有一点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是( )‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎4．已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有（）条 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎5．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）‎ A．3 B．‎6 ‎C．18 D．36‎ ‎6．已知某圆圆心C在x轴上，半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数为偶函数，且在上是增函数，则的一个可能值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（ ）‎ ‎①平面平面 ②直线与直线是异面直线 ‎③直线与直线共面 ④面与面的交线与平行 A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎10．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．‎ ‎12．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2.已知，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13．已知为第二象限角，则_______‎ ‎14．在中，为的中点，为的中点，为的中点，若,则=__________．‎ ‎15．若圆和曲线恰有六个公共点，则的取值集合是_________.‎ ‎16．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为______．‎ 三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知两点 ‎（1）求过AB中点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；‎ ‎（2）求过原点，且A、B两点到该直线距离相等的直线的方程.‎ ‎18．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式：‎ ‎（2）已知角满足：且，，求的值.‎ ‎20．已知两个定点，， 动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM、QN，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.‎ ‎21．如图，在直三棱柱中，，是的中点，. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.‎ ‎22．定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．‎ ‎（1）求出此函数的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由;‎ ‎（3）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值.‎ 参考答案 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D C C D A C A D A B ‎13．-1 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由题意，点，可得中点坐标为，‎ 设所求直线的斜率为，则方程为，‎ 令，解得，令，解得，‎ 因为直线在两坐标轴上截距相等，即，解得或，‎ 当时，直线的方程为，即；‎ 当时，直线的方程为，即．‎ ‎（2）①当所求直线过的中点时，此时直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为；‎ ‎②当直线与直线平行，此时直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎18．（1）因为四边形为正方形，‎ 所以.平面平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面.所以.‎ 取中点，连接.由，，，‎ 可得四边形为正方形.‎ 所以.所以.所以.‎ 因为，所以平面. ‎ ‎（2）存在，当为的中点时，平面，此时.‎ ‎ 证明如下：‎ 连接交于点，由于四边形为正方形，‎ 所以是的中点，同时也是的中点.‎ 因为，又四边形为正方形， ‎ 所以，‎ 连接，所以四边形为平行四边形.‎ 所以.又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎19．（1）‎ 由条件可得，所以，则 ‎（2）‎ 又 ‎∴原式 ‎20．（1）由题，设点的坐标为，‎ 因为，即，‎ 整理得，‎ 所以所求曲线的轨迹方程为。‎ ‎（2）依题意，，则都在以为直径的圆上，‎ 是直线上的动点，设，‎ 则圆的圆心为，且经过坐标原点，‎ 即圆的方程为，‎ 又因为在曲线上，‎ 由，可得，‎ 即直线的方程为，‎ 由且，可得，解得，‎ 所以直线过定点。‎ ‎21（1）证明：取的中点，连结，，，‎ 在直三棱柱中，‎ 四边形为平行四边形，又是的中点，‎ 所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又，平面，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（2）过作于，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又，平面，所以平面.‎ 因为，为锐角，‎ 所以为异面直线和所成的角，‎ 所以由条件知，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，，‎ 所以.‎ ‎22．（1），‎ ‎， ‎ ‎ ，‎ 解得：，，又 ‎ ‎（2）满足，解得：‎ ‎ ‎ 同理 由（1）知函数在上递增 若有 只需要：，即成立即可 存在，使成立 ‎（3）由题意知：，‎ 函数与函数均为单调增函数，且，‎ 当且仅当与同时取得才有函数的最大值为 由得：，‎ 则 ，‎ 又 的最小值为