2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十五事件的相互独立性新人教A版选修2-3

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2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十五事件的相互独立性新人教A版选修2-3

课时跟踪检测(十五) 事件的相互独立性 A级——基本能力达标 ‎1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(  )‎ A.互斥事件      B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 解析:选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.故选D.‎ ‎2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(  )‎ A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 解析:选C 因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.‎ ‎3.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 由题意知P甲==,P乙=,所以P=P甲·P乙=.‎ ‎4.有两名射手射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若各射击一次,则目标被击中的概率是(  )‎ A.0.56   B.‎0.92 ‎  ‎ C.0.94    D.0.96‎ 解析:选C 设事件A表示:“甲击中”,事件B表示:“乙击中”.由题意知A,B互相独立.故目标被击中的概率为P=1-P(·)=1-P()P()=1-0.2×0.3=0.94.‎ ‎5.从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是,从两袋内各摸出1个球,则等于(  )‎ A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.至少有1个红球的概率 5‎ D.2个球中恰好有1个红球的概率 解析:选C 至少有1个红球的概率是×+×+×=.‎ ‎6.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是________.‎ 解析:所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.‎ 答案:0.26‎ ‎7.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(A∪B)=________,P(A|B)=________.‎ 解析:∵A,B相互独立,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65. P(A|B)=P(A)=0.3.‎ 答案:0.65 0.3‎ ‎8.设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率,则事件A发生的概率P(A)=________.‎ 解析:由已知可得 解得P(A)=P(B)=.‎ 答案: ‎9.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求:‎ ‎(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.‎ ‎(2)至少有一个气象台预报准确的概率.‎ 解:记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A,B相互独立且P(A)=,P(B)=.‎ ‎(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.‎ ‎(2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P=1-P(AB)=1-P()P()=1-×=.‎ ‎10.(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.‎ 5‎ ‎(1)求P(X=2);‎ ‎(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.‎ 解:(1)X=2就是某局双方10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.‎ 因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.‎ ‎(2)X=4且甲获胜,就是某局双方10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.‎ 因此所求概率为 ‎[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.‎ B级——综合能力提升 ‎1.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为(  )‎ A.0.12        B.0.88‎ C.0.28 D.0.42‎ 解析:选D P=(1-0.3)(1-0.4)=0.42.‎ ‎2.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(A)=,B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(B)=.故P(AB)=P(A)·P(B)=×=.‎ ‎3.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A荷叶上,则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(  )‎ A. B. C. D. 5‎ 解析:选A 按A→B→C→A的顺序的概率为××=,按A→C→B→A的顺序的概率为××=,故跳三次之后停在A叶上的概率为P=+=.‎ ‎4.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是互相独立的,则灯亮的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 记“A,B,C,D四个开关闭合”分别为事件A,B,C,D,可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为:P()P()[1-P(AB)]=××=.∴灯亮的概率为1-=.‎ ‎5.加工某零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.‎ 解析:加工出来的零件的正品率为××=,所以次品率为1-=.‎ 答案: ‎6.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.‎ 解析:此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.‎ 答案:0.128‎ ‎7.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.‎ ‎(1)求该选手被淘汰的概率;‎ ‎(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.‎ 解:记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),‎ 5‎ 则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.‎ ‎(1)法一:该选手被淘汰的概率:‎ P=P(1∪A12∪A‎1A23∪A‎1A2A34)‎ ‎=P(1)+P(A1)P(2)+P(A1)P(A2)P(3)+‎ P(A1)P(A2)P(A3)P(4)=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.‎ 法二:P=1-P(A‎1A2A3A4)=1-P(A1)P(A2)·P(A3)·P(A4)=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0.024=0.976.‎ ‎(2)法一:P=P(A12∪A‎1A23∪A‎1A2A34)=P(A1)P(2)+P(A1)P(A2)P(3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(4)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.‎ 法二:P=1-P(1)-P(A‎1A2A3A4)=1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576.‎ ‎8.某学生语、数、英三科竞赛成绩,排名全班第一的概率为:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中:‎ ‎(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少?‎ ‎(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?‎ 解:分别记“该生语、数、英竞赛成绩排名全班第一”为事件A,B,C,则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.‎ ‎(1)该学生三科成绩均未获得第一名的概率 P1=P( )=P()P()P()‎ ‎=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]‎ ‎=0.1×0.2×0.15=0.003.‎ ‎(2)该学生恰有一科成绩未获得第一名的概率 P2=P(BC+A C+AB )‎ ‎=P( BC)+P(A C)+P(AB )‎ ‎=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()‎ ‎=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]‎ ‎=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329.‎ 5‎
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