2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第16讲 高考中的圆

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第16讲 高考中的圆

第16讲　高考中的圆 题型一| 直线与圆及圆与圆 ‎　(2016·江苏高考)如图16－1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．‎ 图16－1‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ ‎[解题指导]　(1)设圆心N(6，y0)求出y0―→写出圆N的方程 ‎(2)l∥OA―→设l的方程―→弦心距、半弦长、半径间的关系―→求l的方程 ‎(3)设P，Q的坐标建立P，Q坐标间的关系 圆与圆的位置关系 ‎[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，‎ 所以圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以00)，由＝及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2). 5分 ‎∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，‎ 由得即B(－3,9)，‎ ‎∴AB＝＝9，从而t＝＝ h.‎ 即货运汽车需要1 5分钟时间. 8分 ‎(2)点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C.‎ 由(1)知直线AB的方程为x＋y－6＝0， 12分 ‎∵P(4,8)，则直线PC的方程为x－y＋4＝0，‎ 联立上述两式得即点C的坐标为(1,5). 16分 ‎2．(2016·南京盐城二模)如图16－5，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.‎ 图16－5‎ 问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？‎ ‎[解]　如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.‎ 设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，‎ 则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.‎ 因为AB与圆C相切，所以＝1.‎ 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 5分 因此AB＝＝ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 12分 于是AB＝2－(a＋b)．‎ 又ab＝2(a＋b)－2≤2，‎ 解得0＜a＋b≤4－2或a＋b≥4＋2.‎ 因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，‎ 所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2， 14分 当且仅当a＝b＝2－时取等号，‎ 所以AB的最小值为2－2，此时a＝b＝2－.‎ 即当A，B两点离道路的交点都为2－(百米)时，小道AB最短. 16分