高一数学专题练习：三角函数知识点总结

高一数学专题练习：三角函数知识点总结

高中数学第四章-三角函数 考试内容： 数学探索©版权所有www.delve.cn角的概念的推广．弧度制． 数学探索©版权所有www.delve.cn任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 数学探索©版权所有www.delve.cn两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 数学探索©版权所有www.delve.cn正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 数学探索©版权所有www.delve.cn正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． 数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． 数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 数学探索©版权所有www.delve.cn（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． 数学探索©版权所有www.delve.cn（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示． 数学探索©版权所有www.delve.cn（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 数学探索©版权所有www.delve.cn（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=‎1”‎．‎ ‎§04. 三角函数 知识要点 ‎1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：‎ ②终边在x轴上的角的集合： ‎ ③终边在y轴上的角的集合：‎ ④终边在坐标轴上的角的集合： ‎ ⑤终边在y=x轴上的角的集合： ‎ ⑥终边在轴上的角的集合：‎ ⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：‎ ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：‎ ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：‎ ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：‎ ‎2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′‎ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.‎ ‎、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）‎ ‎3、弧长公式：. 扇形面积公式：‎ ‎4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .‎ ‎5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）‎ ‎6、三角函数线 ‎ 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.‎ ‎7. 三角函数的定义域：‎ 三角函数 ‎ 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx ‎8、同角三角函数的基本关系式： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9、诱导公式：‎ ‎“奇变偶不变，符号看象限”‎ ‎ 三角函数的公式：（一）基本关系 ‎ ‎ 公式组二 公式组三 ‎ ‎ 公式组四 公式组五 公式组六 ‎ ‎ ‎ ‎（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 公式组三 公式组四 公式组五 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,,,.‎ ‎10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：‎ ‎（A、＞0）‎ 定义域 R R R 值域 R R 周期性 ‎ ‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶 当奇函数 单调性 上为增函数；上为减函数（）‎ ‎；上为增函数 上为减函数 ‎（）‎ 上为增函数（）‎ 上为减函数（）‎ 上为增函数；‎ 上为减函数（）‎ 注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.‎ ②与的周期是.‎ ③或（）的周期.‎ 的周期为2（，如图，翻折无效）. ‎ ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；‎ 的对称中心（）.‎ ⑤当·；·.‎ ⑥与是同一函数,而是偶函数，则 ‎.‎ ⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].‎ ⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）‎ 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）‎ 奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）‎ ⑨不是周期函数；为周期函数（）；‎ 是周期函数（如图）；为周期函数（）；‎ 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： ‎ ‎.‎ ⑩ 有.‎ ‎11、三角函数图象的作法：‎ ‎１）、几何法：‎ ‎２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.‎ ‎３）、利用图象变换作三角函数图象．‎ 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．‎ 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相 ‎（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），‎ 由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）‎ 由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)‎ 由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)‎ 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）‎ 由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。‎ ‎4、反三角函数：‎ 函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．‎ 函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．‎ 函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．‎ 函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．‎ II. 竞赛知识要点 一、反三角函数.‎ ‎1. 反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）‎ 注：，，.‎ ⑵反余弦函数非奇非偶，但有，.‎ 注：①，，.‎ ②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.‎ ⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，‎ ‎，.‎ 注：，.‎ ⑷反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.‎ ‎，.‎ 注：①，.‎ ②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足.‎ ⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：‎ 的取值范围 解集 的取值范围 解集 ‎①的解集 ②的解集 ‎＞1 ＞1 ‎ ‎=1 =1 ‎ ‎＜1 ＜1 ‎ ‎③的解集： ③的解集：‎ 二、三角恒等式.‎ 组一 组二 组三 三角函数不等式 ‎＜＜ 在上是减函数 若，则