高考数学专题复习练习第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学专题复习练习第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 平面的基本性质及 平行公理的应用 2、3 4、8、10 11 异面直线的判定 7 9 [理]异面直线所成角 [文]空间直线的 位置关系 1、5 6 12 一、选择题 1．下列命题中正确的是 ( ) A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一平面的两直线是平行直线 D．垂直于同一平面的两平面是平行平面 答案：C 2．对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面α，使得 ( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 解析：不相交的直线 a，b 的位置有两种：平行或异面．当 a，b 异面时，不存在平面α 满足 A、C；又只有当 a⊥b 时 D 才成立． 答案：B 3．对于直线 m、n 和平面α，下列命题中的真命题是 ( ) A．如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n∥α B．如果 m⊂α，n⊄α，m、n 是异面直线，那么 n 与α相交 C．如果 m⊂α，n∥α，m、n 共面，那么 m∥n D．如果 m⊂α，n∥α，m、n 共面，那么 m 与 n 相交 解析：由直线与平面的性质可知，选 C. 答案：C 4．设 P 表示一个点，a、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其 中正确的命题是 ( ) ①P∈a，P∈α⇒a⊂α ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β ③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 解析：当 a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但 a⊄α，∴①错； a∩β＝P 时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面α， 又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面β，但β经过直线 a 与点 P，∴β与α重合，∴b⊂α， 故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案：D 5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若两直线为异面直线则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：A 6. [理]如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( ) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：连接 AB1，易知 AB1∥EF，连接 B1C 交 BC1 于点 G，取 AC 的中点 H，连接 GH，则 GH∥AB1∥EF.设 AB=BC=AA1=a，连接 HB，在三角形 GHB 中，易 知 GH=HB=GB= 2 2 a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°. 答案：B [文]如图在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB1、BC1 的中点，则以下结 论中不成立的是 ( ) A．EF 与 BB1 垂直 B．EF 与 BD 垂直 C．EF 与 CD 异面 D．EF 与 A1C1 异面 解析：EF∥A1C1，故 D 不成立． 答案：D 二、填空题 7．(2010·江南十校素质测试)若两条异面直线所成的角为 60°，则称这对异面直线为“黄 金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 ________对． 解析：正方体如图，若要出现所成角为 60° 的异面直线，则直线需为面对角线，以 AC 为 例，与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条， 分别是 A′B，BC′，A′D，C′D，正方 体的面对角线有 12 条，所以所求的黄金异 面直线对共有 12 4 2  =24 对(每一对被计算两次， 所以记好要除以 2)． 答案：24 8．a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面α，b⊂平面β，则 a，b 一定是异面直线； ⑤若 a，b 与 c 成等角，则 a∥b. 上述命题中正确的命题是__________(只填序号)． 解析：由公理 4 知①正确； 当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确； 当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确； a⊂α，b⊂β，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故④不正确； 当 a，b 与 c 成等角时，a 与 b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：① 9．(2010·郑州质检)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°； ③EF 与 MN 是异面直线； ④MN∥CD. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正 方体如图所示，则 AB⊥EF，EF 与 MN 为异面 直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确． 答案：①③ 三、解答题 10．如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M 为 AB 的中点，N 为 BB1 的中点，O 为面 BCC1B1 的中心． (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q(只写作法， 不必证明)； (2)求 PQ 的长． 解：(1)由 ON∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面α. 又 O、C、M 三点确定一个平面β(如图所示)． ∵三个平面α，β和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP、CM、DA，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面． ∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q， 连结 OQ 与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q， ∴OQ 是α与β的交线． 故直线 OPQ 即为所求作的直线． (2)由 Rt△AMQ≌Rt△BMC，得 AQ＝CB＝1， 又∵△OPN∽△QPA，ON＝1 2BC＝1 2AQ. ∴PN∶PA＝1∶2.AP＝2 3AN＝ 5 3 . 解 Rt△APQ 可得 PQ＝ 14 3 . 11．在正方体 AC1 中，E 是 CD 的中点，连结 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F，连结 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G，连结 FG. 求证：直线 FG⊂平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1. 证明：由已知得 E 是 CD 的中点， 在正方体中，有 A∈平面 ABCD， E∈平面 ABCD， 所以 AE⊂平面 ABCD. 又 AE∩BC=F，所以 F∈AE， 从而 F∈平面 ABCD. 同理，G∈平面 ABCD， 所以 FG⊂平面 ABCD. 因为 EC AB，故在 Rt△FBA 中，CF=BC， 同理，DG=AD.又在正方形 ABCD 中，BC AD， 所以 CF DG. 所以四边形 CFGD 是平行四边形． 所以 FG∥CD.又 CD∥AB，AB∥A1B1， 所以直线 FG∥直线 A1B1. 12．已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC、BD，点 E、F、G、H、M、N 分别是 AB、BC、 CD、DA、AC、BD 的中点．求证：三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该 点平分． 证明：如图所示，连结 EF、FG、GH、HE. ∵E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴EF∥AC，HG∥AC， ∴EF∥HG，同理，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 设 EG∩FH=O， 则 O 平分 EG、FH. 同理，四边形 MFNH 是平行四边形， 设 MN∩FH=O′，则 O′平分 MN、FH. ∵点 O、O′都平分线段 FH， ∴点 O 与点 O′重合， ∴MN 过 EG 和 FH 的交点，即三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该点平分．