2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

‎2.2.1‎‎ 椭圆及其标准方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，则M到另一个焦点F2的距离为(　　)‎ A．3 B．6‎ C．8 D．以上都不对 解析：由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝10，‎ ‎∴|MF2|＝10－2＝8，故选C.‎ 答案：C ‎2．(2015·高考广东卷)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．9‎ 解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4，又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3，又m＞0，故m＝3.‎ 答案：B ‎3．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)‎ A．32 B．16‎ C．8 D．4‎ 解析：∵|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8.‎ 又∵|AF1|＋|BF1|＝|AB|，‎ ‎∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋ (|BF1|＋|BF2|)＝16.故选B.‎ 答案：B ‎4．方程－＝1所表示的曲线是(　　)‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 解析：∵<2<，∴sin 2>0，cos 2<0‎ 且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，‎ cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 5‎ 答案：B ‎5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝‎4c2得(m＋n)2－2mn＝‎4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝‎2a，所以2mn＝‎4a2－‎4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝·mn＝1，设点M到x轴的距离为h，则×|F‎1F2|×h＝1，又|F‎1F2|＝2，故h＝，故选C.‎ 答案：C ‎6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．‎ 解析：由c＝2，a＝2b，a2＝b2＋c2，∴3b2＝12，b2＝4，a2＝16，‎ ‎∴标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎7．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是________．‎ 解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，c＝2，|F‎1F2|＝4，‎ 由于|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，‎ ‎∴|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|＝8，∴a＝4，b2＝a2－c2＝42－22＝12，‎ 故椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎8．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF‎1F2的面积为________．‎ 解析：如图所示，‎ ‎|F‎1F2|＝2，‎ ‎|AF1|＋|AF2|＝6，‎ 5‎ 由|AF1|＋|AF2|＝6，‎ 得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝36.‎ 又在△AF‎1F2中，‎ ‎|AF1|2＋|AF2|2－|F‎1F2|2＝2|AF1||AF2|cos 45°，‎ ‎∴36－2|AF1||AF2|－8＝|AF1||AF2|，‎ ‎∴|AF1||AF2|＝＝14(2－)．‎ ‎∴S△AF‎1F2＝|AF1||AF2|sin 45°‎ ‎＝×14(2－)×＝7(－1)．‎ 答案：7(－1)‎ ‎9．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆左、右焦点，若PF1⊥PF2，试求：‎ ‎(1)椭圆方程；‎ ‎(2)△PF‎1F2的面积．‎ 解析：(1)由PF1⊥PF2，可得|OP|＝c，得c＝5.‎ 设椭圆方程为＋＝1，代入P(3,4)，‎ 得＋＝1，解得a2＝45.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)S△PF‎1F2＝|F‎1F2||yP|＝5×4＝20.‎ ‎10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．‎ 解析：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．‎ 由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.‎ 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和‎2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　)‎ 5‎ A．m<2 B．15－k>0，即4b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．‎ 解析：由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，‎ ‎∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，‎ ‎∴点B到定点A，C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.‎ ‎∴b′2＝3.‎ 又a>b>c，‎ ‎∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－26＝|C‎1C2|，‎ 由椭圆的定义知C点的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则＝，＝.‎ 由＝5可得＝5，‎ 所以x1＝5x2，y 1＝5y2－×5＋＝5y2－18， ③‎ 由P，Q是椭圆C上的两点，得 由④、⑤得y2＝3，‎ 将y2＝3代入③，得y1＝－3，‎ 将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，‎ 5‎ 所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.‎ 5‎