2020年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法二综合法与分析法优化练习新人教A版选修4-5
二 综合法与分析法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是( )
A．A≥B B．A≤B
C．A>B D．A
B2.
又A>0，B>0，
∴A>B.
答案：C
2．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析：由已知，可得出a＝，b＝，c＝，
∵＋＞＋>2.
∴bx,0＜lg x＜1，
∴lg(lg x)＜0，∴lg x2＞lg x＞(lg x)2，
∴lg x2＞(lg x)2＞lg(lg x)，选D.
答案：D
4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，
得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，
即a2＋b2＋c2≥1.
6
又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3.故选项B成立．
答案：B
5．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )
A．Rlg b>0，
∴(lg a＋lg b)>，即Q>P.
又∵a>b>1，∴>，
∴lg >lg ＝(lg a＋lg b)．
即R>Q，∴P3时，－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
即证<，
只需证a(a－3)<(a－1)(a－2)，
即证0<2，显然0<2，
故－<－.
答案：－<－
8．设a，b，c都是正实数，a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．
6
解析：因为 (＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤1＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝1＋2(a＋b＋c)＝3，
所以＋＋≤，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
答案：
9．用综合法证明：如果a，b为正数，则ab＋＋＋≥4.
证明：由基本不等式ab＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
有ab＋＋＋≥2＋2＝4，
所以ab＋＋＋≥4，
当且仅当ab＝且＝，即a＝b＝1时等号成立．
10．已知a>0，b>0,2c>a＋b，用分析法证明c－a＋b知上式成立．
∴原不等式成立．
[B组 能力提升]
1．已知p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是( )
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．以上答案都不对
解析：若ab>0，则>0，>0，
∴＋≥2，故p⇒q成立．
若＋≥2，则≥2，
6
∴≥0，即≥0.
∵(a－b)2≥0，∴ab>0，故q⇒p成立．
答案：C
2．已知a、b、c为三角形的三边，且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )
A．S≥2P B．PP D．P≤S<2P
解析：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，即S≥P.
又三角形中|a－b|0在条件a>b>c时恒成立，则λ的取值范围是________．
解析：不等式可化为＋>.
∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴λ<＋恒成立．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴λ<4.
答案：(－∞，4)
4．设a>0，b>0，则此两式的大小关系为
lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：因为对数函数y＝lg x为定义域上的增函数．
所以只需比较(1＋)与的大小即可，
因为(1＋)2－(1＋a)(1＋b)
＝1＋ab＋2－(1＋ab＋a＋b)
＝2－(a＋b)．
又由基本不等式得2≤a＋b，
所以(1＋)2－(1＋a)(1＋b)≤0，
6
即有lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
5．已知a>b>0，求证：<－<.
证明：要证<－<，
只要证b>0，所以>1，<1，
故 <1, >1成立，
所以有<－<成立．
6．已知实数a、b、c满足c 0.
解得－0，
解得c<0或c>(舍去)．
∴－
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