2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系11 面面垂直的判定习题 苏教版必修2

2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系11 面面垂直的判定习题 苏教版必修2

面面垂直的判定 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. 下列命题中正确的是________。‎ ‎①若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；‎ ‎②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；‎ ‎③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；‎ ‎④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β。‎ ‎*2. 设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是________。‎ ‎①若l∥α，l∥β，则α∥β；‎ ‎②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；‎ ‎④若α⊥β，l∥α，则l⊥β。‎ ‎**3. 过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________。‎ ‎**4. 如图，已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°，若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是________。‎ ‎*5. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________。‎ ‎①BC∥面PDF；②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC；④面PAE⊥面ABC。‎ ‎6. 在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的大小为________。‎ ‎***7. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝。‎ ‎（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（2）求二面角A—BE—P的大小。‎ ‎**8. 如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是AA1的中点。求证：平面C1BD⊥平面BDE。‎ 5‎ ‎**9. 如图所示，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB。‎ ‎（1）求二面角A－PD－C的平面角的度数；‎ ‎（2）求二面角B－PA－D的平面角的度数；‎ ‎（3）求二面角B－PA－C的平面角的度数；‎ ‎（4）求二面角B－PC－D的平面角的度数。‎ 5‎ ‎1 ③ 解析：当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故①错；由直线与平面垂直的判定定理知，②、④错，③正确。‎ ‎2. ② 解析：利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法。‎ 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，‎ 因此α不一定平行于β，故①错误；‎ 由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，‎ 所以l′⊥β，故α⊥β，所以②正确；‎ 若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此③错误；‎ 已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，‎ 则l∥α且l∥β，因此④错误。‎ ‎3. 45° 解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°。‎ ‎4. 90° 解析：由∠POB＝45°，∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角，若作PQ⊥β于Q点，则∠POQ＝45°，∴Q∈AB，又PQ⊂α，∴α⊥β。‎ ‎5. ③‎ 解析：如图所示，∵BC∥DF，‎ ‎∴BC∥平面PDF，∴①正确，‎ 由BC⊥PE，BC⊥AE，‎ ‎∴BC⊥平面PAE，‎ ‎∴DF⊥平面PAE，∴②正确，‎ ‎∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE），∴④正确。‎ ‎6. 60°‎ 解析：如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角，‎ ‎∵DO＝OB＝BD＝，‎ ‎∴∠BOD＝60°。‎ ‎7. （1）证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形，因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，‎ 5‎ 又AB∥CD，所以BE⊥AB，‎ 又因为PA⊥平面ABCD，‎ BE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，‎ 因此BE⊥平面PAB，‎ 又BE⊂平面PBE，‎ 所以平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（2）解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ 所以PB⊥BE，又AB⊥BE，‎ 所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角，‎ 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝，‎ 则∠PBA＝60°，‎ 故二面角A—BE—P的大小是60°。‎ ‎8. 证明：设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，连接C1O，EO，C1E，‎ 因为EB＝ED，点O是BD的中点，‎ 所以BD⊥EO，‎ 因为C1B＝C1D，点O是BD的中点，‎ 所以BD⊥C1O，‎ 所以∠C1OE即为二面角C1－BD－E的平面角，‎ 因为E为AA1中点，设正方体的棱长为a，‎ 则C1O＝， ‎ EO＝，‎ C1E＝，‎ 所以C1O2＋EO2＝C1E2，‎ 所以C1O⊥OE，所以⊥C1OE＝90°，‎ 所以平面C1BD⊥平面BDE。‎ ‎9. 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∵PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 又CD⊂平面PCD，‎ 5‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD，‎ ‎∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°；‎ ‎（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，‎ ‎∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角，‎ 由题意知∠BAD＝90°，‎ ‎∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°；‎ ‎（3）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，‎ ‎∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，‎ 即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°；‎ ‎（4）作BE⊥PC于点E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图所示，由题意知△PBC≌△PDC，‎ 则∠BPE＝∠DPE，‎ 从而△PBE≌△PDE，‎ ‎∴∠DEP＝∠BEP＝90°，‎ 且BE＝DE。‎ ‎∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，‎ 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，‎ ‎∴BC⊥PB，‎ 设AB＝a，‎ 则BE＝，BD＝a，‎ ‎∴sin∠BEO＝，∴∠BEO＝60°，‎ ‎∴∠BED＝120°.‎ ‎∴二面角B－PC－D的平面角的度数为120°。‎ 5‎