2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数课件新人教A版

2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数课件新人教A版

第 4 节　幂函数与二次函数 知 识 梳 理 y ＝ x α 1. 幂函数 (1) 幂函数的定义 一般地，形如 __________ 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α 为常数 . (2) 常见的五种幂函数的图象 (3) 幂函数的性质 ① 幂函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上都有定义； ② 当 α >0 时，幂函数的图象都过点 (1 ， 1) 和 (0 ， 0) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； ③ 当 α <0 时，幂函数的图象都过点 (1 ， 1) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 2. 二次函数 (1) 二次函数解析式的三种形式 一般式： f ( x ) ＝ ___________________ . 顶点式： f ( x ) ＝ a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0) ，顶点坐标为 _________ . 零点式： f ( x ) ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) ， x 1 ， x 2 为 f ( x ) 的零点 . ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ( m ， n ) (2) 二次函数的图象和性质 函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a <0) 图象 ( 抛物线 )     定义域 ______ 值域 R 偶 非奇非偶 减 增 增 减 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关 . 3.(1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点 (1 ， 1) ，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (3) 确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式 . 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 解析 　因为 f ( x ) ＝ k · x α 是幂函数，所以 k ＝ 1. 3. ( 新教材必修第一册 P86T7 改编 ) 如果函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 x － 3 在区间 ( － ∞ ， 4) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析　 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 2 x － 3 在 ( － ∞ ， 4) 单调递增 . 当 a ≠ 0 时， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 4) 上单调递增 . A. b < a < c B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b 答案　 A 5. (2020· 河南省实验中学质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 3 x 2 － 2( m ＋ 3) x ＋ m ＋ 3 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ，则实数 m 的取值范围为 ( 　　 ) A.{0 ，－ 3} B.[ － 3 ， 0] C.{0 ， 3} D.( － ∞ ，－ 3] ∪ [0 ，＋ ∞ ) 解析　 依题意，得 Δ ＝ 4( m ＋ 3) 2 － 4 × 3( m ＋ 3) ＝ 0 ，则 m ＝ 0 或 m ＝－ 3. ∴ 实数 m 的取值范围是 {0 ，－ 3}. 答案　 A 解析　 由 y ＝ x α 为奇函数，知 α 取－ 1 ， 1 ， 3. 又 y ＝ x α 在 (0 ，＋ ∞ ) 上递减， ∴ α <0 ，取 α ＝－ 1. 答案　 － 1 考点一　幂函数的图象和性质 【例 1 】 (1) 幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象过点 (4 ， 2) ，则幂函数 y ＝ f ( x ) 的大致图象是 ( 　　 ) 解析　 (1) 设幂函数的解析式为 y ＝ x α ， 因为幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象过点 (4 ， 2) ， (2) 由于 f ( x ) ＝ ( m － 1) x n 为幂函数， 所以 m － 1 ＝ 1 ，则 m ＝ 2 ， f ( x ) ＝ x n . 又点 (2 ， 8) 在函数 f ( x ) ＝ x n 的图象上， 所以 8 ＝ 2 n ，知 n ＝ 3 ，故 f ( x ) ＝ x 3 ，且在 R 上是增函数， 答案　 (1)C 　 (2)A 规律方法　 1. 对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x ＝ 1 ， y ＝ 1 ， y ＝ x 所分区域 . 根据 α <0 ， 0< α <1 ， α ＝ 1 ， α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定 . 2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 . A. 奇函数 B. 偶函数 C. 定义域内的减函数 D. 定义域内的增函数 (2) 若幂函数 y ＝ x － 1 ， y ＝ x m 与 y ＝ x n 在第一象限内的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为 ( 　　 ) A. － 1< m <0< n <1 B. － 1< n <0< m C. － 1< m <0< n D. － 1< n <0< m <1 (2) 幂函数 y ＝ x α ，当 α >0 时， y ＝ x α 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数，且 0< α <1 时，图象上凸， ∴ 0< m <1. 当 α <0 时， y ＝ x α 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数 . 不妨令 x ＝ 2 ，由图象得 2 － 1 <2 n ，则－ 1< n <0. 综上可知，－ 1< n <0< m <1. 答案　 (1)A 　 (2)D 考点二　二次函数的解析式 【例 2 】 ( 一题多解 ) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( － 1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是 8 ，试确定该二次函数的解析式 . 解　法一　 ( 利用 “ 一般式 ” 解题 ) 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0). ∴ 所求二次函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋ 7. 法二　 ( 利用 “ 顶点式 ” 解题 ) 设 f ( x ) ＝ a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0). 因为 f (2) ＝ f ( － 1) ， 法三　 ( 利用 “ 零点式 ” 解题 ) 由已知 f ( x ) ＋ 1 ＝ 0 的两根为 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－ 1 ， 故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x － 2)( x ＋ 1)( a ≠ 0) ， 即 f ( x ) ＝ ax 2 － ax － 2 a － 1. 解得 a ＝－ 4 或 a ＝ 0( 舍 ). 故所求函数的解析式为 f ( x ) ＝－ 4 x 2 ＋ 4 x ＋ 7. 规律方法　 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 【训练 2 】 已知二次函数 f ( x ) 的图象经过点 (4 ， 3) ，它在 x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意 x ∈ R ，都有 f (2 － x ) ＝ f (2 ＋ x ) ，则 f ( x ) ＝ ________. 解析　 因为 f (2 － x ) ＝ f (2 ＋ x ) 对 x ∈ R 恒成立， 所以 y ＝ f ( x ) 的图象关于 x ＝ 2 对称 . 又 y ＝ f ( x ) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 2 ， 所以二次函数 f ( x ) 与 x 轴的两交点坐标为 (1 ， 0) 和 (3 ， 0). 因此设 f ( x ) ＝ a ( x － 1)( x － 3). 又点 (4 ， 3) 在 y ＝ f ( x ) 的图象上，所以 3 a ＝ 3 ，则 a ＝ 1. 故 f ( x ) ＝ ( x － 1)( x － 3) ＝ x 2 － 4 x ＋ 3. 答案　 x 2 － 4 x ＋ 3 考点三　二次函数的图象及应用 【例 3 】 (1) 对数函数 y ＝ log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 与二次函数 y ＝ ( a － 1) x 2 － x 在同一坐标系内的图象可能是 ( 　　 ) (2) 设函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ a ( a >0) ，已知 f ( m )<0 ，则 ( 　　 ) A. f ( m ＋ 1) ≥ 0 B. f ( m ＋ 1) ≤ 0 C. f ( m ＋ 1)>0 D. f ( m ＋ 1)<0 解析 　 (1) 若 0< a <1 ，则 y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， y ＝ ( a － 1) x 2 － x 开口向下，其图象的对称轴在 y 轴左侧，排除 C ， D. 若 a >1 ，则 y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， y ＝ ( a － 1) x 2 － x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足 . 由 f ( m )<0 ，得－ 1< m <0 ， 所以 m ＋ 1>0 ，所以 f ( m ＋ 1)> f (0)>0. 答案 　 (1)A 　 (2)C 规律方法　 1. 研究二次函数图象应从 “ 三点一线一开口 ” 进行分析， “ 三点 ” 中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点； “ 一线 ” 是指对称轴这条直线； “ 一开口 ” 是指抛物线的开口方向 . 2. 求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件 . 【训练 3 】 一次函数 y ＝ ax ＋ b 与二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　 ) 解析　 A 中，由一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象可得 a >0 ，此时二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象应该开口向上， A 错误； D 中，由一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象可得 a <0 ， b <0 ，此时二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象应该开口向下， D 错误 . 答案　 C 考点四　二次函数的性质　 多维探究 角度 1 　二次函数的单调性与最值 【例 4 － 1 】 已知二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 1( a ， b ∈ R 且 a ≠ 0) ， x ∈ R . (1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( － 1) ＝ 0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间； (2) 在 (1) 的条件下， f ( x )> x ＋ k 在区间 [ － 3 ，－ 1] 上恒成立，试求 k 的取值范围 . 所以 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ， 由 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1) 2 知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ － 1 ，＋ ∞ ) ，单调递减区间为 ( － ∞ ，－ 1]. (2) 由题意知， x 2 ＋ 2 x ＋ 1> x ＋ k 在区间 [ － 3 ，－ 1] 上恒成立，即 k < x 2 ＋ x ＋ 1 在区间 [ － 3 ，－ 1] 上恒成立， 令 g ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ 1 ， x ∈ [ － 3 ，－ 1] ， 所以 k <1 ， 故 k 的取值范围是 ( － ∞ ， 1). 角度 2 　二次函数中的恒成立问题 【例 4 － 2 】 (2020· 沈阳模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ ax － 6 ， g ( x ) ＝ x ＋ 4. 若对任意 x 1 ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，存在 x 2 ∈ ( － ∞ ，－ 1] ，使 f ( x 1 ) ≤ g ( x 2 ) ，则实数 a 的最大值为 ( 　　 ) A.6 B.4 C.3 D.2 当 a ≤ 0 时， f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 所以 f ( x )< f (0) ＝－ 6 ，显然 f ( x )< g ( x ) max ＝ 3. 所以当 a ≤ 0 时， (*) 恒成立 . 解析　 由题意 f ( x ) max ≤ g ( x ) max ， (*) 由 g ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1] 上单调递增，则 g ( x ) max ＝ g ( － 1) ＝ 3 ， 综上可知 a ≤ 6 ，则 a 的最大值为 6. 答案　 A 规律方法　 1. 二次函数最值问题的解法：抓住 “ 三点一轴 ” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解 . 2. 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 . (2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离 . 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≤ f ( x ) min . 【训练 4 】 (1) ( 角度 1) 若函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 的图象与 x 轴的交点为 (1 ， 0) 和 (3 ， 0) ，则函数 f ( x )( 　　 ) A. 在 ( － ∞ ， 2] 上递减，在 [2 ，＋ ∞ ) 上递增 B. 在 ( － ∞ ， 3) 上递增 C. 在 [1 ， 3] 上递增 D. 单调性不能确定 (2) ( 角度 2) 若函数 f ( x ) ＝ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ a ＋ 1 对于 x ∈ [ － 1 ， 1] 时恒有 f ( x ) ≥ 0 ，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析　 (1) 由已知可得该函数图象的对称轴为 x ＝ 2 ，又二次项系数为 1>0 ，所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 2] 上是递减的，在 [2 ，＋ ∞ ) 上是递增的 . (2) ∀ x ∈ [ － 1 ， 1] 时， f ( x ) ≥ 0 ⇔ a ( x － 1) 2 ≥ x － 1.(*) 当 x ＝ 1 时， a ∈ R ， (*) 式恒成立 .