江西省赣州市2020届高三5月适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

江西省赣州市2020届高三5月适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 赣州市2020年高三年级适应性考试 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知是复数，且（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的综合运算求出后可得其对应点的坐标．‎ ‎【详解】由题意，对应点坐标为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数的综合运算，考查复数的几何意义，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数不等式和指数不等式得集合，再根据集合的运算得正确选项．‎ ‎【详解】由题意，，所以，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查指数函数、对数函数的性质，掌握指数函数、对数函数的单调性是解题关键．‎ - 24 -‎ ‎3.从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）‎ A 24 B. 36 C. 46 D. 47‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按要求两个数字为一个号，不大于50且前面未出现的数依次写出即可得．‎ ‎【详解】由随机数表．抽样编号依次为43，36，47，36前面出现过去掉，46，24，第5个是24．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查随机数表法，属于简单题．‎ ‎4.已知函数在上单调递减，且当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知解析式求出函数值为－3的自变量的值，然后由单调性解出不等式．‎ ‎【详解】令，则或（舍去），∴，‎ 不等式可化为，即，又是上的减函数，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键．‎ ‎5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图确定直三棱柱中的尺寸，从而可计算其侧面积．‎ ‎【详解】由三视图知该直三棱柱高为3，底面是等腰三角形，等腰三角形的底边长为2，高为1，∴腰长为，侧面积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查求棱柱的侧面积．解题关键是由三视图确定原几何体中的尺寸．‎ ‎6.若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，利用的几何意义求解．‎ 详解】作出可行域，如图内部（含边界），表示可行域内点与定点 连线斜率，由图可知其最大值为，由得，∴．‎ 故选：C．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查非线性目标函数的简单线性规划问题，解题关键是利用目标函数的几何意义求解，目标函数表示两点连线斜率，利用可行域得出斜率的最大值．‎ ‎7.2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年.某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到、、、、等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到村去的派法有（ ）‎ A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按甲所调查村的个数分类求解．‎ ‎【详解】甲只去1村，则方法为，甲去2个村调查，则方法数有，∴总方法数为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．‎ ‎8.将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 - 24 -‎ B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的图象有一条对称轴为 D. 函数的图象有一个对称中心为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把三角函数图象变换过程反过来进行得的解析式，比较后可得，再根据正弦函数的性质判断．‎ ‎【详解】由题意图象变换过程反过来：函数的图象向左平移个单位得图象解析式为，再把所得图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍得图象解析式为，∴，即，‎ 其周期为，A错；，C，D均错；由得，即增区间为，B正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查正弦型函数的性质．掌握正弦函数的性质是解题关键．‎ ‎9.已知函数（为自然对数的底数），若关于的不等式解集中恰含有一个整数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 求出函数和图象过原点的切线的斜率，然后结合函数图象分析整数解可得结论．‎ ‎【详解】先求函数和图象过原点切线的斜率：‎ 对函数，，设过原点的切线的切点为，则，解得，∴，‎ 对函数，，设过原点的切线的切点为，则，解得（舍去），∴，‎ 时，，显然不合题意．因此 作出函数和的图象，如图， 只有在时，不等式才可能有解，此时显然是其中一个解，又，点与原点连线斜率为，而，因此当时，不等式只有一个整数解．‎ 故选：A．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查不等式的整数解问题，考查导数的几何意义，解题方法是利用数形结合思想，即作出函数和的图象，通过图象观察不等式的解的情况得出结论．‎ ‎10.已知点是边长为6的正方形内的一点，且，则（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为轴建立平面直角坐标系，求出两点的坐标，由两点间距离表示出距离．由三角函数恒等变换求值后可得结论．‎ ‎【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为6，，则，，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求平面上两点间的距离，解题方法是建立平面直角坐标系，得出各点坐标，由两点间距离公式求解，同时结合三角函数的同角关系、二倍角公式进行计算．‎ ‎11.在中国，“女排精神”概括的是顽强战斗、勇敢拼搏精神.在某年度排球超级杯决赛中，中国女排与俄罗斯女排相遇，已知前四局中，战成了 - 24 -‎ ‎，且在决胜局中，中国队与俄罗斯队战成了，根据中国队与俄罗斯队以往的较量，每个球中国队获胜的概率为，假定每个球中国队是否获胜相互独立，则再打不超过4球，中国队获得比赛胜利的概率为（ ）‎ ‎（注：排球的比赛规则为5局3胜制，即比赛双方中的一方先拿到3局胜利为获胜队，其中前四局为25分制，即在一方先得到25分，且与对方的分差大于或等于2分，则先拿到25分的一方胜；若一方拿到25分后，但双方分差小于2分，则比赛继续，直到一方领先2分为止；若前四局打成，则决胜局采用15分制.）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据赛制，确定最多4球能胜的可能情形有两类：一类只打两球均胜，一类是打4球，前2球中一胜一输，后两球胜，再根据独立事件的概率公式计算可得．‎ ‎【详解】根据赛制，再打不超过最多4球能胜概率：一类只打两球均胜，概率为，一类是打4球，前2球中一胜一输，后两球胜，概率为，‎ ‎∴所求概率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，解题关键是确定“再打不超过最多4球获胜”这个事件可能怎么发生，从而把事件分成两个互斥事件，分别计算概率．‎ ‎12.在四面体中，，则四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四面体的体积最大时, 平面平面，设，然后把四面体体积表示为的函数，最后由导数的知识求得最大值，从而得四面体棱长，把这个四面体补形成一个长方体，可得外接球的半径，从而得面积．‎ - 24 -‎ ‎【详解】当平面平面时，四面体的体积最大，令，则，的高 为，则.‎ 则，当时，当时，‎ ‎∴当即时，有最大值，此时.‎ 则以四面体的顶点构造长方体（长宽高分别为，，，四面体的棱是长方体的面对角 线），则.‎ 令四面体的外接球（即长方体的外接球）的半径为，则.‎ 则外接球的表面积为.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球的表面积，本题关键有两个：一个是确定四面体体积最大时，平面平面，及用函数思想求最大值，第二个把四面体补形为一个长方体，易求得外接球半径．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，夹角为，满足，，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把模用数量积表示后可求得．‎ ‎【详解】∵，∴，解得（－2舍去）．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是掌握模与数量积的关系，即把模的平方表示为向量的平方．‎ ‎14.抛物线：的焦点为，双曲线的一条渐近线与抛物线交于，‎ - 24 -‎ 两点，则的面积为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求出焦点的坐标，写出一条渐近线方程，得出交点坐标后可得三角形面积．‎ ‎【详解】由已知，双曲线的一条渐近线为，由得或，即，所以．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点坐标，考查双曲线的几何性质，属于基础题．‎ ‎15.圆上恰有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交，一条与圆相离可得．‎ ‎【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，‎ 圆心到已知直线的距离为，‎ 由题意，解得或．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．‎ ‎16.已知函数，则函数的最小值为______.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数的周期及对称性，问题转化为求时的最小值，而此时，绝对值符号可以去掉，然后利用导数求得最小值．‎ ‎【详解】解：由可知：以为周期的偶函数，‎ 又，所以是函数图象的一条对称轴，‎ ‎∴的最小值即为当时的最小值，‎ ‎∴当时，，‎ 由，得即，在上此方程的解存在且唯一，设其为．‎ 当时，当时，‎ ‎∴当时有最小值，此时，，‎ ‎∴.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求函数的最小值，解题关键是确定函数的周期性和对称性，目的是去掉绝对值符号，求最值的方法是利用导数求得最值．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在数列中，且.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ - 24 -‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的定义证明，即证为常数即可；‎ ‎（2）由（1）求得，然后用错位相减法求得数列的和．‎ ‎【详解】（1）证明：∵，∴，‎ ‎，∵，∴，‎ ‎∴数列是以3为首项，以1为公差的等差数列.‎ ‎（2）解：由（1）可知：，∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明，考查错位相减法求数列的和．等差数列与等比数列的证明一般是根据它们的定义进行证明，数列求和问题除等差数列与等比数列的公式外还需掌握一些特殊的方法：如错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法等等．‎ ‎18.如图，在正三棱柱中，，，点，满足，‎ - 24 -‎ ‎.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，利用向量数乘定义及平行线的性质可证明，从而得证线面平行；‎ ‎（2）故以为坐标原点，以射线，分别轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦．‎ ‎【详解】（1）证明：连接交于点，连接，‎ 由，从而与相似，‎ 又知，‎ 又，从而在中，有.‎ 从而得：，‎ 又面，面，‎ 故面.‎ - 24 -‎ ‎（2）解：由三棱柱为正三棱柱，故以为坐标原点，‎ 以射线，分别轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则：，‎ 不妨取，则，‎ 设平面的法向量为，‎ 则：，‎ 不妨取，则，‎ 记二面角为（应为钝角），‎ ‎，‎ 故二面角的余弦值为.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．解题关键是建立空间直角坐标系，把问题转化为运算求解，减少了思维量，增加了计算量，解题时要注意判断二面角是锐角还是钝角．‎ ‎19.为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.‎ ‎（1）假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；‎ ‎（2）在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.‎ ‎①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：‎ ‎10.02‎ ‎9.78‎ ‎10.04‎ ‎9.92‎ ‎10.14‎ ‎9.22‎ ‎1013‎ ‎9.91‎ ‎9.95‎ ‎10.09‎ ‎9.96‎ ‎9.88‎ ‎10.01‎ ‎9.98‎ ‎10.05‎ ‎10.05‎ ‎9.96‎ ‎10.12‎ - 24 -‎ 经计算得，，.其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？‎ ‎②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.‎ ‎【答案】（1）（2）①需对本次的生产过程进行检查②0.014‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知.，由此可计算出期望；‎ ‎（2）①由已知数据计算出，，得区间，有数据在这个区间外就要进行检测；②设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，计算出，然后用互斥（对立）事件概率公式计算，需要停止生产进行检测的反而是4次检测中发生4次，或发生3次只发生1次，则，从而得结论．‎ ‎【详解】解：（1）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0.9974.‎ 从而主要药理成分含量在之外的概率为0.0026.‎ 故.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）①由，，得的估计值为，‎ 的估计值为，‎ - 24 -‎ 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查.‎ ‎②设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，则 ‎.‎ 如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为 ‎，‎ ‎.‎ 故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.014.‎ ‎【点睛】本题考查正态分布，考查二项分布的期望，考查互斥（对立）事件的概率公式．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于，两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点，两点，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两圆位置关系可得，确定圆心的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆.由此可得轨迹方程；‎ ‎（2）分类：当直线的斜率不存在或为0时，直接求出面积，当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：，代入曲线的方程，整理后由韦达定理得，由弦长公式求得弦长，同理得，计算面积 - 24 -‎ ‎，利用基本不等式可得最小值．‎ ‎【详解】解：（1）设点坐标为，圆的半径为.则，，‎ 从而.‎ 所以圆心的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆.‎ 故动圆圆心的轨迹的方程为：.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在或为0时，此时不妨设，，‎ 此时.‎ ‎②当直线的斜率存在且不为0时，不妨设其方程为：，，，‎ 联立，‎ 由，，‎ 此时.‎ 同理得：.‎ 故.‎ 当且仅当“”，即时等号成立，又.‎ 故四边形面积的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查与椭圆有关的轨迹方程，考查两圆的位置关系，考查直线与椭圆相交弦长，椭圆中的面积的最值问题，掌握椭圆的定义可直接得出动点轨迹方程．计算直线椭圆相交弦长时注意韦达定理的运用，同时注意结论的类比，可减少计算，本题难度较大，属于难题．‎ ‎21.已知函数，的导函数为.‎ - 24 -‎ ‎（1）当时，证明：函数在上单调递增；‎ ‎（2）若，讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，然后令，再求出导函数，由的正负确定的单调性，得的最小值．从而得，即，确定出的单调性；‎ ‎（2）解方程，变形为，，最终转化为，这样利用导数研究函数的性质，得，分离参数得，此方程解的个数即为函数零点的个数，再由导数研究函数的性质后可得．‎ ‎【详解】（1）证明：当时，，∴，‎ 令，则，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ ‎∴，∴当时，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎（2）解：，‎ 令，则，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 令，则，‎ ‎∵当时，∴当时为增函数，‎ ‎∴，∴，‎ 令，则，‎ - 24 -‎ 当时，递减，当时，递增，∴，‎ ‎∴当时无解，即无零点；‎ 当时有1个解，即有1个零点；‎ 当时有2个解，即有2个零点.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点个数．零点个数问题的关键是问题转化，方程转化为，这样由函数的单调性（用导数证明）把问题转化为方程的解的个数，再由函数的性质得出结论．解题中需要多次求导，对转化与化归能力要求较高，难度很大，属于困难题．‎ 请考生在第20题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线，的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用消参法可得两曲线的普通方程，曲线可直接用代入法，曲线的方程需变形为，再用代入消元法转化；‎ ‎（2）是双曲线的左焦点，直线：过右焦点，‎ - 24 -‎ 都在双曲线的右支上，这样由双曲线的定义可得，直线的参数方程是以为起点的标准参数方程，利用的几何意义可得，把直线参数方程代入双曲线方程应用韦达定理即得．‎ ‎【详解】解：（1）由得，‎ 由得，则.‎ ‎（2）由可知为左焦点，直线过右焦点，‎ 又直线斜率（一条渐近线的斜率），所以点，在双曲线的右支，‎ 所以，‎ 令点，对应的参数分别为，，‎ 由代入得，‎ 则，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程的应用．考查双曲线的定义，掌握标准直线参数方程中参数的几何意义是解题关键．‎ ‎[选修4-5不等式选讲]‎ ‎23.已知正实数，满足.‎ - 24 -‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）1（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用”1”的代换，转化为用基本不等式求得最小值；‎ ‎（2）利用基本不等式的变形形式，有，再由（1）的结论可得证.‎ ‎【详解】解：（1）法一：由得：，‎ 当且仅当“”，即时等号成立.‎ ‎∴的最小值为1.‎ 法二：∵，，，‎ ‎∴，‎ 即时等号成立，∴的最小值为1.‎ 法三：由柯西不等式得：，‎ 又，进而得：，故的最小值为1.‎ 当且仅当“”时等号成立.‎ 注：其它解法相应给分.‎ ‎（2）法一：由，‎ - 24 -‎ 得：，‎ 由（1）知：，‎ 进而得：，‎ 当且仅当“”时等号成立.‎ 法二：由得：，，‎ 由，‎ 当且仅当“”时等号成立.‎ 法三：由柯西不等式得：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，用基本不等式求最值，要注意其条件：一正二定三相等.‎ - 24 -‎ - 24 -‎