江西省赣州市五校协作体2018-2019学年高二下学期期中联考数学（理）试题x
赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考
高二数学理科试卷
命题学校：潭口中学 命题教师：李 迪 审题教师：廖忠贵
考试时间：2019年4月25 日 试卷满分：150分
第I卷
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z等于（ ）
A．1 B．2 C．2 D．22
2．已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b<0
1,n∈N*个点，相应的图案中总的点数记为an，则9a2a3+9a3a4+9a4a5+⋅⋅⋅+9a2018a2019等于（ ）
A．20152016 B．20162017 C．20172018 D．20182019
12．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，且ΔOAB的面积为6（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．x23-y212=1 B．x236-y232=1 C．x23-y2=1 D．x2-y23=1
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．已知函数f(x)=x3+2x2，则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为________．
14．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说：“你们的成绩都没有我高.”乙说：“我的成绩一定比丙高. ”丙说：“你们的成绩都比我高. ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名.
15．设F是双曲线C：x2a2-y2b2=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为________.
16．已知函数f (x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤.
三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
（1）设a≥b>0，用综合法证明：a3+b3≥a2b+ab2；
（2）用分析法证明：6+7>22+5.
18．（本小题12分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD上，且，将△AED,△DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2.
1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；
2求二面角M-EF-D的余弦值.
19．（本小题12分）已知函数fx=x2(x-1)．
（1）求函数fx的单调区间；
（2）求fx在区间-1,2上的最大值和最小值．
20．（本小题12分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点M(4,-42).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设F为抛物线C的焦点，直线l：y=2x-8与抛物线C交于A，B两点，求△FAB的面积．
21．（本小题12分）已知椭圆C过点A26,2 ，两个焦点-26,0,26,0．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．
22．（本小题12分）已知函数f(x)=x3+ax.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若函数g(x)=f(x)-xlnx在 12 ,2上有零点，求a的取值范围。
赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考
高二数学理科试卷参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
C
A
A
A
B
D
B
C
D
13．x+y=0 14．2
15．5 16．①③⑤
17．（1）∵ a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b) ………………3分
而(a-b)2≥0 ，a+b>0
∴ a3+b3-(a2b+ab2)≥0
∴ a3+b3≥a2b+ab2 ………………5分
（2）要证6+7>22+5，只需证(6+7)2>(22+5)2，……6分
即证42>210， ………………7分
只需证(42)2>(210)2， ………………8分
即42>40， ………………9分
而42>40显然成立，故原不等式得证. ………………10分
18．1 PB与平面MEF的位置关系是PB//平面MEF. ………………1分
证明：在图1中，连结BD交EF于N，交AC于O，则BN=12BO=14BD. ……2分
在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. ………………3分
在△DPB中，有BN=14BD,PM=14PD,所以MN//PB.
又因为PB⊄面MEF，MN⊆面MEF，………………5分
故PB//平面MEF. ………………6分
2解法一：在图2中，连结BD交EF于N，连结MN. ………………7分
图2中的△PDE,△PDF，即图1中的Rt△ADE,Rt△CDF,所以PD⊥PE,PD⊥PF.
又PE∩PF=P,所以PD⊥面PEF,∴PD⊥EF.
又EF⊥BD，所以EF⊥面PBD.则∠MND为二面角M-EF-D的平面角. ………………10分
易知PN⊥PM，则在Rt△PMN中，PM=1,PN=2，则MN=PM2+PN2=3.
在△MND中，MD=3,DN=32,由余弦定理，得
cos∠MND=MN2+DN2-MD22MN•DN=63.
所以二面角M-EF-D得余弦值为63. ………………12分
解法二：以P为原点，分别以PE,PF,PD的方向为x轴，y轴，
z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系P-xyz, ………………7分
则E2,0,0,F0,2,0,D0,0,4,M0,0,1，………………8分
于是EM=-2,0,1,FM=0,-2,1, ED=-2,0,4,FD=0,-2,4. ………………9分
分别设平面MEF，平面DEF法向量为n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2，
由n1•EM=0,n1•FM=0,得-2x1+z1=0-2y1+z1=0于是取n1=1,1,2，………………10分
又由n2•ED=0,n2•FD=0,得-2x2+4z2=0-2y2+4z2=0于是可取n2=2,2,1. ………………11分
因为cosn1,n2=n1•n2n1n2|=66×9=63,
所以二面角M-EF-D的余弦值为63. ………………12分
19．（1）∵fx=x2x-1=x3-x2，
∴f'x=3x2-2x．………………1分
由f'x=3x2-2x>0，解得x<0或x>23；………………3分
由f'x=3x2-2x<0，解得00)：过点M4,-42，
所以-422=8p=32，解得p=4，………………3分
所以抛物线C的方程为y2=8x．………………4分
（2）由抛物线的方程可知F2,0，………………5分
直线l:y=2x-8与x轴交于点P4,0，………………6分
联立直线与抛物线方程y=2x-8y2=8x，………………8分
消去x可得y2-4y-32=0，………………9分
所以y1=8,y2=-4，………………10分
所以SΔFAB=12PF×y1-y2=12×2×12=12，
所以ΔFAB的面积为12．………………12分
21．解：（1）由题意，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），
且c=26，………………1分
2a=(26+26)2+22+(26-26)2+22=12，………………2分
则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．………………3分
∴椭圆C的标准方程为x236+y212=1；………………4分
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，
得|AB|=23336-m2，
由|AB|=23336-m2=6，解得m＝±3，………………5分
此时S△AOB=12×6×3=9；………………6分
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立y=kx+mx236+y212=1，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．………………7分
△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．………………8分
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3m2-363k2+1．
由|AB|=1+k2⋅(-6km3k2+1)2-12m2-1443k2+1=6，………………10分
整理得：m2=3(3k2+1)(k2+3)k2+1，原点O到AB的距离d=|m|k2+1．………11分
∴S△AOB=12⋅6⋅|m|k2+1=3m2k2+1=33⋅3(k2+1)2+4(k2+1)-4(k2+1)2
=33⋅-4⋅1(k2+1)2+4⋅1k2+1+3．
当1k2+1=12时，△AOB面积有最大值为63＜9．………………12分
综上，△AOB面积的最大值为9．
22．（1）因为f(x)=x3+ax，所以f'(x)=3x2+a. ………………1分
①当a≥0时，因为f'(x)=3x2+a≥0，所以f(x)在R上单调递增；……2分
②当a<0时，令f'(x)>0，解得x<--3a3或x>-3a3. ………………3分
令f'(x)<0，解得--3a30，12≤x≤2，解得12≤x<22，
则h(x) 22,2上单调递减，在12,22上单调递增，………………9分
因为h12=-122+ln12= -14-ln2，h(2)=-22+ln2=-4+ln2，………………10分
所以h12-h(2)=154 -2ln2>154-2>0，
则h(x)min=h(2)=-4+ln2，h(x)max=h22=-12+ln22 =-12-12ln2，
故a的取值范围为-4+ln2,-12-12ln2. ………………12分