江西省赣州市2020届高三年级摸底考试数学（文）试题

江西省赣州市2020届高三年级摸底考试数学（文）试题

赣州市2020年高三年级摸底考试 文科数学试卷 ‎（全卷满分150分，考试时间120分钟） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合，则中的元素个数为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎2. 已知复数在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 14 D. 68‎ ‎5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知，均为单位向量，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 从1，2，，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎9. 已知直线经过不等式组表示的平面区域，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 在1930年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎11. 已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为______.‎ ‎14. 在中，，，则______.‎ ‎15. 已知函数，若曲线在处的切线恰好平分圆：的周长，则实数的值为______.‎ ‎16. 已知一个底面半径为，高为的圆锥内有一个棱长为的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，若，则______.‎ 三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演绎步骤或推理过程，第17题-第21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. “生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，根据他们取得的成绩（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ ‎（1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率； ‎ ‎（2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.‎ ‎18. 已知各项为正数的等比数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求使得成立的最小正整数.‎ ‎19. 在如图所示的多面体中，平面垂直于以为直径的半圆面，为上一点，，，.‎ ‎（1）若点是线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若点为的中点，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知函数，其导函数为.‎ ‎（1）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：‎ ‎（2）当时，证明：在区间上有且只有两个零点.‎ ‎21. 已知椭圆：的短轴长为2，直线被椭圆截得的线段长为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点且斜率为的直线，与椭圆交于、两点时，作线段的垂直平分线分别交轴、轴于、，垂足为，使得与的面积相等，若存在，试求出直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，动圆：，（，是参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求动圆的圆心的轨迹的方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设和分别是和上的动点，若的最小值为1，求的值.‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]‎ 设，，均为正数，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的最大值.‎ 赣州市2020年高三年级摸底考试文科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5：BDCAD 6-10：CDDAC 11-12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. -3 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）从茎叶图中，知甲班学生成绩不低于70分的人数共有10人，乙班学生成绩不低于70分的人数共有16人，且成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 因此可估计甲班“成绩优良”的概率为，‎ 乙两个班“成绩优良”的概率为.‎ ‎（2）乙班学习的效果更好.‎ ‎（写出以下一个理由给2分）‎ 理由l：乙班样本成绩大多在70分以上，甲班样本成绩70分以下的明显更多.‎ 理由2：甲班样本成绩的平均分为70.2；乙班样本成绩的平均分为79.05.‎ 理由3：甲班样本成绩的中位数为，‎ 班样本成绩的中位数为.‎ ‎18.（1）设等比数列的公比为，则，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得（舍去），又，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以，‎ 由得，‎ 所以当时，，此时，‎ 当时，，此时，‎ 当时，，此时.‎ 所以最小正整数.‎ ‎19.（1）证明：取得中点，连接、，则平行且等于，‎ 又，∴，‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ 另解：取的中点，可通过平面与平面平行，再证明平面.‎ ‎（2）由题意，平面平面，平面平面，，‎ 平面，∴平面，‎ ‎∴，又，，∴平面，‎ 因为点为的中点，所以，‎ 又，且，所以.‎ 此时，，‎ ‎∴.‎ 设点到平面的距离为，则，‎ 解得.‎ ‎20.（1），‎ 由题意得：在上恒成立 即在上恒成立，‎ 由于函数在上单调递减，所以，，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）证明：当时，.‎ 设，则，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在上单调递减，‎ 又，，‎ 故存在，使得，‎ 当时，，即，在上单调递增；‎ 当时，，即，在上单调递减；‎ 又，，‎ 所以在和上各有一个零点，‎ 从而在上有且仅有两个零点.‎ ‎21.（1）由题意可知：，‎ 且，‎ 所以，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在满足条件的直线，不妨设过的直线方程为：，‎ 与椭圆联立方程组得：，消得：，‎ 设线段中点，、，则由韦达定理得：‎ ‎，，代入，‎ 得点的纵坐标，‎ 即.‎ 所以线段的垂直平分线方程为：，‎ 令，得；令，得，‎ 所以的面积，‎ 的面积，‎ 因为与的面积相等，且，‎ 所以，解得.‎ 所以直线的方程为：.‎ ‎22.（1）设动圆的圆心坐标为，则，‎ 消去参数得，得的方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，的最小值等于点到直线的距离的最小值 点到直线的距离，‎ 因为的最小值不为0，所以，‎ 当时，，则，解得，‎ 当时，，则，解得，‎ 综上，.‎ ‎23.（1）由得，，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 从而，即.‎ ‎（2），‎ 所以（当且仅当时取“”号）‎ 从而，故的最大值为1.‎ ‎（注：第（2）要指明等号成立的条件，未指的扣1分）‎