【数学】2021届一轮复习北师大版（理）37不等式的性质与一元二次不等式作业
不等式的性质与一元二次不等式
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一、选择题
1．已知R是实数集，集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝，则A∩(∁RB)＝( )
A.(1,6) B.[－1,2]
C. D.
C [由x2－x－2≤0可得A＝{x|－1≤x≤2}．由≥0得
所以B＝，
所以∁RB＝，所以A∩(∁RB)＝.故选C.]
2．(2019·吉林模拟)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是
( )
A.ac2＜bc2 B.a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
B [法一：(直接法)A选项，若c＝0，则ac2＝bc2，故不正确；B选项，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，
∴a2＞ab＞b2，故B正确；C选项，∵a＜b＜0，∴－＝＞0，∴＞，故错误； D选项，∵a＜b＜0，∴－＝＝＜0，∴＜，故错误．故选B.
法二：(特值排除法)取a＝－2，b＝－1，c＝0易知A、C、D全错误，故选B.]
3．不等式2＞22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是( )
A．(1,4)
B．(－4，－1)
C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
D．(－∞，1)∪(4，＋∞)
B [∵不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，
∴x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，即x2－(4＋2a)x－a>0对一切实数x都成立．
∴Δ＝(4＋2a)2－4×(－a)<0，即a2＋5a＋4<0.
∴－4
0，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D.
D [∵对任意的x∈(1,4)，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>＝2，对任意的x∈(1,4)恒成立，
∵<<1，∴2∈，
∴实数a的取值范围是.]
5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
B [原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，
即10，则＋与＋的大小关系是________．
＋≥＋ [＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.即＋≥＋.]
7．已知10在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
[法一：由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－.
法二：原题即转化为a＞－x＋在[1,5]上有解，设－x＋＝f(x)，即a＞f(x)min，f(x)＝－x＋在[1,5]上是减函数，
∴a＞f(5)＝－.]
三、解答题
9．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
[解] (1)由题意可知，0,5是f(x)＝0的两个实数根，
∴∴即f(x)＝2x2－10x.
(2)由(1)可知不等式2x2－10x＋t≤2对任意x∈[－1,1]恒成立．
即2x2－10x＋t－2≤0在[－1,1]上恒成立，
∴∴∴t≤－10.
即t的取值范围为(－∞，－10]．
10．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解] (1)根据题意得200≥3 000，整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则y＝·100
＝9×104＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．
1．已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
C [选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x＜y，所以x－y<0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．]
2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________．
[由题意可知，方程x2－2ax＋a＝－1有唯一解，
∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即a＝.]
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
9 [由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－＝0，即b＝.
所以f(x)＝2.
又f(x)＜c，所以2＜c，即－－＜x＜－＋.
所以
②－①，得2＝6，所以c＝9.]
4．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以
即解得a≥，
则a的取值范围为.
1．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若f(x)＜0的解集为(－1，m)，则下列说法正确的是( )
A．f(m－1)＜0 B．f(m－1)＞0
C．f(m－1)必与m同号 D．f(m－1)必与m异号
D [∵f(x)＜0的解集为(－1，m)，
∴－1，m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且a＞0.
∴f(x)＝a(x＋1)(x－m)．
∴f(m－1)＝－am与m必异号．
故选D.]
2．(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
(－3,0)∪(3，＋∞) [设x<0，则－x>0，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)．
又f(0)＝0.于是不等式f(x)>x等价于或
解得x>3或－3
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