高考数学总复习第十章算法初步、统计与统计课时规范练54变量间的相关关系、统计案例理新人教A版
课时规范练 54 变量间的相关关系、
统计案例
一、基础巩固组
1.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据
(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的 是
( )
A.y 与 x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心( )
C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg
D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg
2.根据如下样本数据:
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0
得到的回归方程为 x+ ,则( )
A. >0, >0 B. >0, <0
C. <0, >0 D. <0, <0
3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )
A.若 K2 的观测值为 6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此
在 100 个吸烟的人中必有 99 个患有肺病
B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人
吸烟,则他有 99%的可能患肺病
C.若在统计量中求 出在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的
可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确 〚导学号 21500769〛
4.两个随机变量 x,y 的取值如下表:
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若 x,y 具有线性相关关系,且 x+2.6,则下列结论错误的是( )
A.x 与 y 是正相关
B.当 x=6 时,y 的估计值为 8.3
C.x 每增加一个单位,y 大约增加 0.95 个单位
D.样本点(3,4.8)的残差为 0.56
5.2017 年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别不同的居
民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
则下面的结论正确的是( )
A.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
6.(2017 山东潍坊二模,理 12)某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格
进行试销,得到如下数据:
单价 x/元 4 5 6 7 8 9
销量 y/件 90 84 83 80 75 68
由表中数据,求得线性回归方程为 =-4x+ ,当产品销量为 76 件时,产品定价大致为
元.
7.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)
的数据资料,算得 xi=80, yi=20, xiyi=184, =720.
(1)求家庭的月储蓄 对月收入 x 的线性回归方程 x+ ;
(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
〚导学号 21500770〛
二、综合提升组
8.通过随机询问 110 名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
附表:
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
9.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程 x+ ,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和
(2,2)求得的直线方程为 y=b'x+a',则以下结论正确的是( )
A. >b', >a' B. >b',
a' D. 0,故选 B.
3.C 独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.
4.D 由表格中的数据可知选项 A 正确;
(0+1+3+4)=2, (2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,
∴4.5=2 +2.6,
解得 =0.95, =0.95x+2.6.
当 x=6 时, =0.95×6+2.6=8.3,故选项 B 正确;
由 =0.95 +2.6 可知选项 C 正确;
当 x=3 时, =0.95×3+2.6=5.45,残差是 5.45-4.8=0.65,故选项 D 错误.
5.A 由 2×2 列联表得到 a=45,b=10,c=30,d=15,则
a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得 K2 的观测值
k= 3.030.
因为 3.030>2.706,所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到‘光
盘’与性别有关”,故选 A.
6.7.5 =6.5, =80, =80-(-4)×6.5,解得 =106,∴回归方程为 =-4x+106.
当 y=76 时,76=-4x+106,∴x=7.5,故答案为 7.5.
7.解 (1)由题意知 n=10, xi= =8, yi= =2,
又 =720-10×82=80,
xiyi-10 =184-10×8×2=24,
由此得 =0.3, =2-0.3×8=-0.4,
故所求线性回归方程为 =0.3x-0.4.
(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加( =0.3>0),因此 x 与 y 之间是正相关.
(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 =0.3×7-0.4=1.7(千元).
8.A 依题意,由 K2= ,
得 K2= 7.8>6.635.
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选 A.
9.C 由题意可知,b'=2,a'=-2,
=- ,
故 a',故选 C.
10.185 由题意,得父亲身高 x cm 与儿子身高 y cm 对应关系如下表:
x 173 170 176
y 170 176 182
则 =173, =176,
(xi- )(yi- )=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)×(182-176)=18,
(xi- )2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.
=1 =176-173=3.
∴线性回归直线方程 x+ =x+3.
∴可估计孙子身高为 182+3=185(cm).
11.解 (1)甲班化学成绩前十的平均分
(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;
乙班化学成绩前十的平均分
(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.
,∴大致可以判断新课堂教学的教学效果更佳.
(2)
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总 计 20 20 40
根据 2×2 列联表中的数据,得 K2 的观测值为
k= 3.956>3.841,
∴能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
12.解 (1)由所给数据计算得 (1+2+3+4+5+6+7)=4,
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti- )2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti- )(yi- )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
=0.5, =4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为 =0.5t+2.3.
(2)由(1)知, =0.5>0,故 2011 年至 2017 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每
年约增加 0.5 千元.
将 2019 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 =0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.
13.解 (1)由题意,得年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图如图.
从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以
用线性回归方程刻画它们之间的关系.
因为 =6, =1.83, =406, xiyi=117.7,所以 0.172,
x≈1.83-0.172×6=0.798.
从而得到线性回归方程为 =0.172x+0.798.
(2) =0.172×9+0.798=2.346(万元).
所以某家庭年收入为 9 万元时,可以预测其年饮食支出为 2.346 万元.
14.解 (1)总人数 N= =280,a=280×0.02×5=28.
第 3 组的频率是 1-5×(0.02+0.02+0.06+0.02)=0.4,
所以 b=280×0.4=112.
(2)因为年龄低于 40 岁的员工在第 1,2,3 组,共有 28+28+112=168(人),
利用分层抽样在 168 人中抽取 42 人,每组抽取的人数分别为:
第 1 组抽取的人数为 28 =7(人),第 2 组抽取的人数为 28 =7(人),
第 3 组抽取的人数为 112 =28(人),
所以第 1,2,3 组分别抽 7 人、7 人、28 人.
(3)假设 H0:“是否喜欢阅读国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据,
求得 K2 的观测值 k= 8.145>7.879.
从而能在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下,
认为该单位的员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”.