高考数学二轮复习专题一三角教学案
专题一 三角
江苏 新高考
新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为
主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：
寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等 简称为：变角、变名、变
次 .备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.
三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值 见 2014 年
三角解答题 ，第二类是给出在三角形中 见 2011 年、2015 年、2016 年三角解答题 ，第
三类是给出向量 见 2013 年、2017 年三角解答题 .而 2012 年三角解答题则是二、三类的
混合.
第 1 课时 三角函数(基础课)
[常考题型突破]
三角恒等变换
[必备知识]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓ sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝ tan α±tan β
1∓ tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
.
[题组练透]
1．(2017·江苏高考)若 tan
α－π
4 ＝1
6
，则 tan α＝
________.
解析：tan α＝tan
α－π
4 ＋π
4
＝
tan
α－π
4 ＋tanπ
4
1－tan
α－π
4 tanπ
4
＝
1
6
＋1
1－1
6
＝7
5
.
答案：7
5
2．已知 f(x)＝sin
x＋π
6 ，若 sin α＝3
5
π
2
＜α＜π
，则 f
α＋π
12 ＝________.
解析：∵sin α＝3
5
π
2
＜α＜π
，
∴cos α＝－4
5
，
∴f
α＋π
12 ＝sin
α＋π
12
＋π
6 ＝sin
α＋π
4 ＝ 2
2
(sin α＋cos α)＝ 2
2
×
3
5
－4
5 ＝
－ 2
10
.
答案：－ 2
10
3．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且 sin
θ＋π
4 ＝3
5
，则 tan
θ－π
4 ＝
________.
解析：由题意知 sin
θ＋π
4 ＝3
5
，θ是第四象限角，
所以 cos
θ＋π
4 ＝ 1－sin2 θ＋π
4 ＝4
5
.
tan
θ－π
4 ＝tan
θ＋π
4
－π
2 ＝－
sin
π
2
－
θ＋π
4
cos
π
2
－
θ＋π
4
＝－
cos
θ＋π
4
sin
θ＋π
4
＝－4
5
×5
3
＝－4
3
.
答案：－4
3
4．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1
3
，则 sin A＝________.
解析：∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A，∵sin B＝1
3
，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1
3
，
即 1－2sin2A＝1
3
，∴sin A＝ 3
3
.
答案： 3
3
[方法归纳]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
(2)项的拆分与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－
β)＋β等；
(3)升次与降次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
三角函数的图象与解析式
[必备知识]
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图：
设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π
2
，π，3π
2
，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线
可得．
(2)图象变换：
y＝sin x ――――――――――→向左 φ＞0 或向右 φ＜0
平移|φ|个单位 y＝sin(x＋φ)
――――――――――――→纵坐标变为原来的 A A＞0 倍
横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)．
[题组练透]
1．(2016·全国卷Ⅲ)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数 y＝sin x＋ 3cos x
的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为 y＝sin x＋ 3cos x＝2sin
x＋π
3 ，y＝sin x－ 3cos x＝2sin
x－π
3 ，
所以把 y＝2sin
x＋π
3 的图象至少向右平移2π
3
个单位长度可得 y＝2sin
x－π
3 的图象．
答案：2π
3
2.已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇
函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点 G 是图象的最高点)是边
长为 2 的等边三角形，则 f(1)＝________.
解析：由题意得，A＝ 3，T＝4＝2π
ω
，ω＝π
2
.又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
∴φ＝π
2
＋kπ，k∈Z，取 k＝0，则φ＝π
2
，∴f(x)＝－ 3sinπ
2
x，∴f(1)＝－ 3.
答案：－ 3
3.(2017·天津高考改编)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.
若 f
5π
8 ＝2，f
11π
8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则ω＝________，φ＝________.
解析：∵f
5π
8 ＝2，f
11π
8 ＝0，
∴11π
8
－5π
8
＝T
4
(2m＋1)，m∈N，
∴T＝ 3π
2m＋1
，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于 2π，∴T＝3π，
∴ω＝2π
3π
＝2
3
，∴f(x)＝2sin
2x
3
＋φ
.
由 2sin
2
3
×5π
8
＋φ
＝2，得φ＝2kπ＋π
12
，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取 k＝0，得φ＝π
12
.
答案：2
3
π
12
4．设函数 f(x)＝2sin
π
2
x＋π
5 ，若对任意 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则
|x1－x2|的最小值为______．
解析：由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意 x∈R 成立，知 f(x1)，f(x2)分别是函数 f(x)的最
小值和最大值．又要使|x1－x2|最小，∴|x1－x2|的最小值为 f(x)的半个周期，即为 2.
答案：2
[方法归纳]
1 已知函数 y＝Asin ωx＋φ A＞0，ω＞0 的图象求解析式时，常采用待定
系数法，由图中的最高点、最低点求 A，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.
2 对于函数图象的平移问题，一定要弄清楚是由哪个函数图象平移到哪个函数图象，
这是判断移动方向的关键点，否则易混淆平移的方向，导致结果出错.
三角函数的性质
[必备知识]
1．三角函数的单调区间
y ＝ sin x 的 单 调 递 增 区 间 是
2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 (k ∈ Z) ， 单 调 递 减 区 间 是
2kπ＋π
2
，2kπ＋3π
2 (k∈Z)；
y＝cos x 的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋
π](k∈Z)；
y＝tan x 的递增区间是
kπ－π
2
，kπ＋π
2 (k∈Z)．
2．三角函数的奇偶性与对称性
y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
[题组练透]
1．已知 f(x)＝2sin
2x＋π
3 ，则函数 f(x)的最小正周期为________，f
π
6 ＝________.
解析：周期 T＝2π
2
＝π，f
π
6 ＝2sin2π
3
＝ 3.
答案：π 3
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
x∈
0，π
2 的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
＝－cos2x＋ 3cos x＋1
4
＝－
cos x－ 3
2 2
＋1，
因为 x∈
0，π
2 ，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 3
2
时，f(x)max＝1.
答案：1
3．若函数 f(x)＝sin
ωx－π
6 (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π
2
，则
f(x)在
－π
2
，π
2 上的单调递增区间为________．
解析：依题意知，f(x)＝sin
ωx－π
6 的图象相邻两个对称中心之间的距离为π
2
，于
是有 T＝2π
ω
＝2×π
2
＝π，ω＝2，所以 f(x)＝sin
2x－π
6 .当 2kπ－π
2
≤2x－π
6
≤2kπ＋
π
2
，k∈Z，即 kπ－π
6
≤x≤kπ＋π
3
，k∈Z 时，f(x)＝sin
2x－π
6 单调递增．因此，f(x)
＝sin
2x－π
6 在
－π
2
，π
2 上的单调递增区间为
－π
6
，π
3 .
答案：
－π
6
，π
3
[方法归纳]
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的
单调区间的一般思路：令ωx＋φ＝z，则 y＝Asin z(或 y＝Acos z)，然后由复合函数的单
调性求得．
(2)三角函数周期性的求法
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ 2π
|ω|
.应特别注意 y＝
|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为 T＝ π
|ω|
.
(3)三角函数最值(值域)的求法
在求最值(值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数 f(x)
的最值．
正弦定理和余弦定理
[必备知识]
1．正弦定理及其变形
在△ABC 中， a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，
sin A＝ a
2R
，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋c2－a2
2bc
.
3．三角形面积公式
S△ABC＝1
2
absin C＝1
2
bcsin A＝1
2
acsin B.
[题组练透]
1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形
的最大内角的大小为________．
解析：由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7 知，a∶b∶c＝3∶5∶7，可设 a
＝3k，b＝5k，c＝7k，且角 C 是最大内角，由余弦定理知 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝9k2＋25k2－49k2
2×3k×5k
＝－1
2
，因为 0°
0)的最小正周期为1
5
，则
f
1
3 的值为________．
解析：因为 f(x)的最小正周期为 2π
ωπ
＝1
5
，所以ω＝10，所以 f(x)＝sin
10πx－π
6 ，
所以 f
1
3 ＝sin
10π
3
－π
6 ＝sin19π
6
＝－sinπ
6
＝－1
2
.
答案：－1
2
2．在平面直角坐标系 xOy 中，角θ的终边经过点 P(－2，t)，且 sin θ＋cos θ＝ 5
5
，
则实数 t 的值为________．
解析：∵角θ的终边经过点 P(－2，t)，
∴sin θ＝ t
4＋t2
，cos θ＝ －2
4＋t2
，
又∵sin θ＋cos θ＝ 5
5
，
∴ t
4＋t2
＋ －2
4＋t2
＝ 5
5
，即 t－2
4＋t2
＝ 5
5
，
则 t＞2，平方得t2－4t＋4
4＋t2 ＝1
5
，
即 1－ 4t
4＋t2＝1
5
，即 4t
4＋t2＝4
5
，
则 t2－5t＋4＝0，则 t＝1(舍去)或 t＝4.
答案：4
3．(2017·南京、盐城一模)将函数 y＝3sin
2x＋π
3 的图象向右平移φ
0<φ<π
2 个单
位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.
解析：将函数 y＝3sin
2x＋π
3 的图象向右平移φ
0<φ<π
2 个单位后，所得函数为 f(x)
＝3sin
2 x－φ ＋π
3 ，即 f(x)＝3sin 2x＋
π
3
－2φ
.因为 f(x)为偶函数，所以π
3
－2φ
＝π
2
＋kπ，k∈Z，所以φ＝－π
12
－kπ
2
，k∈Z，因为 0＜φ＜π
2
，所以φ＝5π
12
.
答案：5π
12
4．设函数 y＝sin
ωx＋π
3 (0＜x＜π)，当且仅当 x＝π
12
时，y 取得最大值，则正数ω
的值为________．
解析：由条件得 sin
π
12
ω＋π
3 ＝1，又 0＜x＜π，ω＞0，故π
12
ω＋π
3
＝π
2
，ω＝2.
答案：2
5．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2b＝a＋c，若 sin B＝4
5
，
cos B＝ 9
ac
，则 b 的值为________．
解析：∵2b＝a＋c，sin B＝4
5
，cos B＝ 9
ac
，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，∴b2＝a2＋c2
－2accos B＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得 b＝4.
答案：4
6．(2017·扬州期末)已知 cos
π
3
＋α
＝1
3
0<α<π
2
，则 sin(π＋α)＝________.
解析：因为 cos
π
3
＋α
＝1
3
0<α<π
2 ，
所以π
3
<π
3
＋α<5π
6
，
有 sin
π
3
＋α
＝ 1－cos2
π
3
＋α
＝2 2
3
，
所以 sin(π＋α)＝sin
π
3
＋α
＋2π
3
＝sin
π
3
＋α
cos2π
3
＋cos
π
3
＋α
sin2π
3
＝2 2
3
×
－1
2 ＋1
3
× 3
2
＝ 3－2 2
6
.
答案： 3－2 2
6
7．(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终
边关于 y 轴对称．若 sin α＝1
3
，则 cos(α－β)＝________.
解析：因为角α与角β的终边关于 y 轴对称，
所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，
所以 cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α
＝－(1－2sin2α)＝－ 1－2×
1
3 2 ＝－7
9
.
答案：－7
9
8．在△ABC 中，A＝2π
3
，a＝ 3c，则b
c
＝________.
解析：∵在△ABC 中，A＝2π
3
，
∴a2＝b2＋c2－2bccos2π
3
，即 a2＝b2＋c2＋bc.
∵a＝ 3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，
∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，b
c
＝1.
答案：1
9．若 f(x)＝ 3sin(x＋θ)－cos(x＋θ)
－π
2
≤θ≤π
2 是定义在 R 上的偶函数，则θ
＝________.
解析：因为 f(x)＝ 3sin(x＋θ)－cos(x＋θ)＝2sin
x＋θ－π
6 为偶函数，所以θ－
π
6
＝kπ＋π
2
，k∈Z.即θ＝kπ＋2π
3
.因为－π
2
≤θ≤π
2
，所以θ＝－π
3
.
答案：－π
3
10．在△ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 a＝5，A＝π
4
，cos B＝3
5
，
则 c＝________.
解析：根据题意得，sin B＝4
5
，所以 sin C＝sin(A＋B)＝sin
π
4
＋B
＝ 2
2
(sin B＋cos
B)＝ 2
2
×7
5
＝7 2
10
，由 a
sin A
＝ c
sin C
，得
5
sinπ
4
＝
c
7 2
10
，解得 c＝7.
答案：7
11．(2017·无锡期末)设 f(x)＝sin2x－ 3cos x·cos
x＋π
2 ，则 f(x)在
0，π
2 上的
单调递增区间为________．
解析：f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x＝1
2
(1－cos 2x)＋ 3
2
sin 2x＝sin
2x－π
6 ＋1
2
，当
2kπ－π
2
≤2x－π
6
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，即 kπ－π
6
≤x≤kπ＋π
3
，k∈Z 时，函数 f(x)单调
递增，令 k＝0，得－π
6
≤x≤π
3
，所以函数 f(x)在
0，π
2 上的单调递增区间为
0，π
3 .
答案：
0，π
3
12．函数 y＝asin(ax＋θ)(a＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离
的最小值为________．
解析：易知函数 y＝asin(ax＋θ)(a＞0，θ≠0)的最大值为 a，最小值为－a，最小正
周期 T＝2π
a
，所以相邻的最高点与最低点的距离为
π
a 2＋4a2≥ 2×π
a
×2a＝2 π，
当且仅当π
a
＝2a，即 a＝ 2π
2
时等号成立．
答案：2 π
13．已知 cos
α－π
6 ＋sin α＝4 3
5
，则 sin
α＋7π
6 的值是________．
解析：由 cos
α－π
6 ＋sin α＝4 3
5
，
可得 3
2
cos α＋1
2
sin α＋sin α＝4 3
5
，
即 3
2
sin α＋ 3
2
cos α＝4 3
5
，
∴ 3sin
α＋π
6 ＝4 3
5
，sin
α＋π
6 ＝4
5
，
∴sin
α＋7π
6 ＝－sin
α＋π
6 ＝－4
5
.
答案：－4
5
14．(2017·苏锡常镇一模)已知 sin α＝3sin
α＋π
6 ，则 tan
α＋π
12 ＝________.
解析：∵sin α＝3sin
α＋π
6 ＝3sin αcosπ
6
＋3cos α·sinπ
6
＝3 3
2
sin α＋3
2
cos
α，∴tan α＝ 3
2－3 3
.
又 tan π
12
＝tan
π
3
－π
4 ＝
tanπ
3
－tanπ
4
1＋tanπ
3
tanπ
4
＝ 3－1
3＋1
＝2－ 3，
∴tan
α＋π
12 ＝
tan α＋tanπ
12
1－tan αtan π
12
＝
3
2－3 3
＋2－ 3
1－ 3
2－3 3
×(2－ 3)
＝2 3－4.
答案：2 3－4
[B 组——力争难度小题]
1．如图，已知 A，B 分别是函数 f(x)＝ 3sin ωx(ω＞0)在 y 轴
右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π
2
，则该函数
的最小正周期是________．
解析：设函数 f(x)的最小正周期为 T，由图象可得 A
T
4
， 3
，B
3T
4
，－ 3
，则 OA―→· OB―→
＝3T2
16
－3＝0，解得 T＝4.
答案：4
2．(2017·南京考前模拟)已知函数 f(x)＝sin
ωx＋π
6 －cos ωx (ω＞0)．若函数
f(x)的图象关于直线 x＝2π对称，且在区间
－π
4
，π
4 上是单调函数，则ω的取值集合为
____________．
解析：f(x)＝ 3
2
sin ωx＋1
2
cos ωx－cos ωx＝ 3
2
sin ωx－1
2
cos ωx＝sin
ωx－π
6 ，
因为 f(x)的图象关于直线 x＝2π对称，
所以 f(2π)＝±1，
则 2πω－π
6
＝kπ＋π
2
，k∈Z，
所以ω＝k
2
＋1
3
，k∈Z.
因为函数 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上是单调函数，
所以最小正周期 T≥2
π
4
－
－π
4 ，
即2π
ω
≥π，解得 0＜ω≤2，
所以ω＝1
3
或ω＝5
6
或ω＝4
3
或ω＝11
6
.
当ω＝1
3
时，f(x)＝sin
1
3
x－π
6 ，
x∈
－π
4
，π
4 时，1
3
x－π
6
∈
－π
4
，－π
12 ，
此时 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上为增函数；
当ω＝5
6
时，f(x)＝sin
5
6
x－π
6 ，
x∈
－π
4
，π
4 时，5
6
x－π
6
∈
－3π
8
，π
24 ，
此时 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上为增函数；
当ω＝4
3
时，f(x)＝sin
4
3
x－π
6 ，
x∈
－π
4
，π
4 时，4
3
x－π
6
∈
－π
2
，π
6 ，
此时 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上为增函数；
当ω＝11
6
时，f(x)＝sin
11
6
x－π
6 ，
x∈
－π
4
，π
4 时，11
6
x－π
6
∈
－5π
8
，7π
24 ，
此时 f(x)在区间
－π
4
，π
4 上不是单调函数；
综上，ω∈
1
3
，5
6
，4
3 .
答案：
1
3
，5
6
，4
3
3．△ABC 的三个内角为 A，B，C，若 3cos A＋sin A
3sin A－cos A
＝tan
－7π
12 ，则 tan A＝________.
解析： 3cos A＋sin A
3sin A－cos A
＝
2sin
A＋π
3
2sin
A－π
6
＝－
sin
A＋π
3
cos
A＋π
3
＝－tan
A＋π
3 ＝tan
－A－π
3 ＝
tan
－7π
12 ，
所以－A－π
3
＝－7π
12
，所以 A＝7π
12
－π
3
＝π
4
，
所以 tan A＝tanπ
4
＝1.
答案：1
4．已知函数 f(x)＝Asin(x＋θ)－cosx
2
cos
π
6
－x
2 (其中 A 为常数，θ∈(－π，0))，
若实数 x1，x2，x3 满足：①x1＜x2＜x3，②x3－x1＜2π，③f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则θ的值为
________．
解析：函数 f(x)＝A(sin xcos θ＋cos xsin θ)－cosx
2
·
3
2
cosx
2
＋1
2
sinx
2 ＝A(sin xcos
θ＋cos x sin θ)－ 3
2
×1＋cos x
2
－1
4
sin x＝
Acos θ－1
4 sin x＋
Asin θ－ 3
4 cos x
－ 3
4
，故函数 f(x)为常数函数或为周期 T＝2π的周期函数．又 x1，x2，x3 满足条件①②③，
故 f(x)只能为常数函数，所以
Acos θ－1
4
＝0，
Asin θ－ 3
4
＝0，
则 tan θ＝ 3，又θ∈(－π，0)，
故θ＝－2π
3
.
答案：－2π
3
第 2 课时 平面向量(基础课)
[常考题型突破]
平面向量的概念及线性运算
[必备知识]
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，
不能盲目转化．
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后
一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向
被减向量．
(3)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有 OA―→＝λ OB―→＋μ OC―→，且λ＋μ＝
1.
(4)C 是线段 AB 中点的充要条件是 OC―→＝1
2
( OA―→＋ OB―→)．G 是△ABC 的重心的充要条件
为 GA―→＋ GB―→＋ GC―→＝0.
[题组练透]
1．(2017·盐城期中)设向量 a＝(2，－6)，b＝(－1，m)，若 a∥b，则实数 m＝________.
解析：因为 a∥b，所以 2m－(－1)×(－6)＝0，所以 m＝3.
答案：3
2．(2017·镇江模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA―→＋ MB―→＋ MC―→＝0.若存在实数 m 使得
AB―→＋ AC―→＝m AM―→成立，则 m＝________.
解析：由 MA―→＋ MB―→＋ MC―→＝0 知，点 M 为△ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，则
AM―→＝2
3
AD―→＝2
3
×1
2
( AB―→＋ AC―→)＝1
3
( AB―→＋ AC―→)，∴ AB―→＋ AC―→＝3 AM―→，故 m＝3.
答案：3
3.(2017·南京考前模拟)在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝
90°，AB＝2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点(不包括端点)，若
AC―→＝λ AM―→＋μ AN―→，则 1
λ
＋ 3
μ
的最小值为________．
解析：以 AB 为 x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系如图所示，
设 B(2,0)，C(1，t)，M
1
2
，t
，N(x0，y0)，
因为 N 在线段 BC 上，所以 y0＝ t
1－2
(x0－2)，
即 y0＝t(2－x0)，
因为 AC―→＝λ AM―→＋μ AN―→，
所以
1＝1
2
λ＋μx0，
t＝λt＋μy0，
即 t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)，因为 t≠0，
所以 1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－
1－1
2
λ
，
所以 3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，
所以 4
1
λ
＋ 3
μ ＝(3λ＋4μ)
1
λ
＋ 3
μ ＝3＋12＋4μ
λ
＋9λ
μ
≥15＋2 36＝27,
所以 1
λ
＋ 3
μ
≥27
4
当且仅当4μ
λ
＝9λ
μ
，即λ＝4
9
，μ＝2
3
时取等号．
所以 1
λ
＋ 3
μ
的最小值为27
4
.
答案：27
4
[方法归纳]
(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向
量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b≠0 时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得
a＝λb)来判断．
平面向量的数量积
[必备知识]
1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.
2．三个结论：
(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.
(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
| AB―→|＝ x2－x1
2＋ y2－y1
2.
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，
则 cos θ＝ a·b
|a||b|
＝ x1x2＋y1y2
x2
1＋y2
1· x2
2＋y2
2
.
[题组练透]
1．(2017·山东高考)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量．若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹
角为 60°，则实数λ的值是________．
解析：因为 3e1－e2· e1＋λe2
| 3e1－e2|·|e1＋λe2|
＝ 3－λ
2 1＋λ2
，
故 3－λ
2 1＋λ2
＝1
2
，解得λ＝ 3
3
.
答案： 3
3
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝
________.
解析：易知|a＋2b|＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝ 4＋4×2×1×1
2
＋4＝2 3.
答案：2 3
3．已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1
3
，若 n⊥(tm＋n)，则实数 t
的值为________．
解析：∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，
即 tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又 4|m|＝3|n|，∴t×3
4
|n|2×1
3
＋|n|2＝0，
解得 t＝－4.
答案：－4
4．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量 AC―→＝(1,2)， BD―→＝(－2,2)，则 AB―→· CD―→
的最小值为________．
解析：设 A(a，b)，B(c，d)，
∵ AC―→＝(1,2)， BD―→＝(－2,2)，
∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，
则 AB―→＝(c－a，d－b)， CD―→＝(c－a－3，d－b)，
∴ AB―→· CD―→＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)2＝(c－a)2－3(c－a)＋(b－d)2＝
c－a－3
2 2
－9
4
＋(b－d)2≥－9
4
.
∴ AB―→· CD―→的最小值为－9
4
.
答案：－9
4
5．已知边长为 6 的正三角形 ABC， BD―→＝1
2
BC―→， AE―→＝1
3
AC―→，AD 与 BE 交于点 P，则
PB―→· PD―→的值为________．
解析：由题意可得点 D 为 BC 的中点，以点 D 为坐标原点，BC，AD 所在
直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0,0)，A(0，
3 3)，B(－3,0)，C(3,0)，E(1,2 3)，直线 BE 的方程为 y＝ 3
2
(x＋3)与 AD(y 轴)的交点为
P
0，3 3
2 ，所以 PB―→· PD―→＝
－3，－3 3
2 ·
0，－3 3
2 ＝27
4
.
答案：27
4
[方法归纳]
1 涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
①直接利用数量积的定义，围绕基底展开的运算，需要熟悉向量间的相互转化；
②建立坐标系，通过坐标运算求解，需要熟悉数量积的坐标公式及平行、垂直的运算公
式等，其中，涉及平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.
2 在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向
量进行计算.
平面向量的应用
[题组练透]
1．(2017·南京三模)在四边形 ABCD 中，BD＝2，且 AC―→· BD―→＝0，( AB―→＋ DC―→)·( BC―→
＋ AD―→)＝5，则四边形 ABCD 的面积为________．
解析：因为 AC―→· BD―→＝0，所以 AC―→⊥ BD―→，所以以 BD 所在直线为 x 轴，AC 所在直线
为 y 轴，建立直角坐标系，因为 BD＝2，所以可设 B(b,0)，D(2＋b,0)，A(0，a)，C(0，c)，
所以 AB―→＝(b，－a)， DC―→＝(－2－b，c)， BC―→＝(－b，c)， AD―→＝(2＋b，－a)，所以 AB―→
＋ DC―→＝(－2，c－a)， BC―→＋ AD―→＝(2，c－a)，因为( AB―→＋ DC―→)·( BC―→＋ AD―→)＝5，所
以－4＋(c－a)2＝5，即(c－a)2＝9，所以| AC―→|＝| c－a |＝3，所以四边形 ABCD 的面积为
1
2
×AC×BD＝1
2
×3×2＝3.
答案：3
2．已知圆 O 的半径为 2，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 两点都在圆 O 上，且| CD―→|＝2，
则| AC―→＋ BD―→|＝________.
解析：如图，连结 OC，OD，
则 AC―→＝ AO―→＋ OC―→， BD―→＝ BO―→＋ OD―→，
因为 O 是 AB 的中点，
所以 AO―→＋ BO―→＝0，
所以 AC―→＋ BD―→＝ OC―→＋ OD―→，
设 CD 的中点为 M，连结 OM，
则 AC―→＋ BD―→＝ OC―→＋ OD―→＝2 OM―→，
显然△COD 是边长为 2 的等边三角形，
所以| OM―→|＝ 3，
故| AC―→＋ BD―→|＝|2 OM―→|＝2 3.
答案：2 3
3.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
AB＝3，BC＝DC＝2.若 E，F 分别是线段 DC 和 BC 上的动点，则 AC―→· EF―→的
取值范围是________．
解析：法一：因为 AC―→＝ AB―→＋ BC―→， EF―→＝ EC―→＋ CF―→，所以 AC―→· EF―→＝( AB―→＋
BC―→)·( EC―→＋ CF―→)＝ AB―→· EC―→＋ BC―→· CF―→＝3| EC―→|－2| CF―→|，因为 E，F 分别是线段
DC 和 BC 上的动点，且 BC＝DC＝2，所以| EC―→|∈[0,2]，| CF―→|∈[0,2]，所以由不等式的
性质知 AC―→· EF―→的取值范围是[－4，6]．
法二：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则 C(3,2)，
因为 E，F 分别是线段 DC 和 BC 上的动点，且 BC＝DC＝2，所以可设 E(x，2)，F(3，y)，所
以 AC―→＝(3,2)， EF―→＝(3－x，y－2)，且 x∈[1,3]，y∈[0,2]，所以 AC―→· EF―→＝3(3－x)
＋2(y－2)＝5－3x＋2y∈[－4,6]，即 AC―→· EF―→的取值范围是[－4,6]．
答案：[－4,6]
[方法归纳]
1．利用平面向量解决几何问题的两种方法
2．求解向量数量积最值问题的两种方法
[课时达标训练]
[A 组——抓牢中档小题]
1．(2017·南京学情调研)设向量 a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若 a∥c，则
实数 x＝________.
解析：因为 a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又 a∥c，所以
－4＋3x－8＝0，解得 x＝4.
答案：4
2．(2017·无锡期末)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若 a－b 与 ma＋b 垂直，则 m
的值为________．
解析：因为 a＝(2,1)，b＝(1，－1)，所以 a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因
为 a－b 与 ma＋b 垂直，所以(a－b)·(ma＋b)＝0，即 2m＋1＋2(m－1)＝0，解得 m＝1
4
.
答案：1
4
3．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知 a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以
λ＝－k，
1＝3k，
解得
k＝1
3
，
λ＝－1
3
.
答案：－1
3
4．已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a⊥(a－b)，则向量 a 与向量 b 的夹角为________．
解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－ 2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉
＝ 2
2
，∴〈a，b〉＝π
4
.
答案：π
4
5．若单位向量e1，e2的夹角为π
3
，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝ 3
2
，则λ＝________.
解析：由题意可得 e1·e2＝1
2
，
|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×1
2
＋λ2＝3
4
，
化简得λ2＋λ＋1
4
＝0，解得λ＝－1
2
.
答案：－1
2
6．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b
的夹角，则 m＝________.
解析：由题意得 c·a
|c||a|
＝ c·b
|c||b|
⇒c·a
|a|
＝c·b
|b|
⇒5m＋8
5
＝8m＋20
2 5
⇒m＝2.
答案：2
7．(2017·常州模拟)已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB，AC 两边分别交
于 M，N 两点，且 AM―→＝x AB―→， AN―→＝y AC―→，则 xy
x＋y
的值为________．
解析：由已知得 M，G，N 三点共线，即 AG―→＝λ AM―→＋(1－λ) AN―→＝λx AB―→＋(1－
λ)y AC―→，
∵点 G 是△ABC 的重心，
∴ AG―→＝2
3
×1
2
( AB―→＋ AC―→)＝1
3
( AB―→＋ AC―→)，
∴
λx＝1
3
，
1－λ y＝1
3
，
即
λ＝ 1
3x
，
1－λ＝ 1
3y
，
得 1
3x
＋ 1
3y
＝1，
即1
x
＋1
y
＝3，通分变形得，x＋y
xy
＝3，∴ xy
x＋y
＝1
3
.
答案：1
3
8．已知 A，B，C 三点不共线，且 AD―→＝－1
3
AB―→＋2 AC―→，则S△ABD
S△ACD
＝
________.
解析：如图，取 AM―→＝－1
3
AB―→， AN―→＝2 AC―→，以 AM，AN 为邻边作
平行四边形 AMDN，
此时 AD―→＝－1
3
AB―→＋2 AC―→.
由图可知 S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝1
2
S△AND，
而 S△AMD＝S△AND，所以S△ABD
S△ACD
＝6.
答案：6
9．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC 中，已知 AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点 P 满足 AP―→
＝ AB―→＋λ AC―→，且 BP―→· CP―→＝1，则实数λ的值为________.
解析：法一：由题意可得 AP―→－ AB―→＝ BP―→＝λ AC―→.又 CP―→ ＝ AP―→－ AC―→＝ AB―→＋(λ
－1) AC―→，所以 BP―→· CP―→＝λ AB―→· AC―→＋λ(λ－1)| AC―→|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，
所以有 4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1 或λ＝－1
4
.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以 A(0,0)，B
1
2
， 3
2 ，
C(2，0)，设 P(x，y)．
所以 AP―→＝(x，y)， AB―→＝
1
2
， 3
2 ， AC―→＝(2,0)．
又因为 AP―→＝ AB―→＋λ AC―→，所以有
x＝2λ＋1
2
，
y＝ 3
2
，
所以 BP―→＝(2λ，0)， CP―→＝
2λ－3
2
， 3
2 .
由 BP―→· CP―→＝1 可得 4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1 或λ＝－1
4
.
答案：1 或－1
4
10．已知向量 a＝(1， 3)，b＝(0，t2＋1)，则当 t∈[－ 3，2]时，|a－t b
|b||的取值
范围是________．
解析：由题意， b
|b|
＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，|a－t b
|b||表示同起点的向量
t b
|b|
的终点到 a 的终点的距离，当 t＝ 3时，该距离取得最小值 1，当 t＝－ 3时，该距离
取得最大值 13，即|a－t b
|b||的取值范围是[1， 13 ]．
答案：[1， 13 ]
11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，
且 OA＝3，OC＝5.若 AB―→· AD―→＝－7，则 BC―→· DC―→的值是________．
解析：法一：由 AB―→· AD―→＝－7 得，( OB―→－ OA―→)·( OD―→－ OA―→)＝－7，即( OB―→－
OA―→)·( OB―→＋ OA―→)＝7，
所以 OB―→2＝7＋ OA―→2＝7＋9＝16，所以| OB―→|＝| OD―→|＝4.所以 BC―→· DC―→＝( OC―→－
OB―→)·( OC―→－ OD―→)＝( OC―→－ OB―→)·( OC―→＋ OB―→)＝ OC―→2－ OB―→2＝25－16＝9.
法二：以 O 为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则 C(5,0)，设 B(x1，y1)，
A(x2，y2)，则 D(－x1，－y1)，x2
2＋y2
2＝9，由 AB―→· AD―→＝－7，得(x1－x2，y1－y2)·(－x1
－x2，－y1－y2)＝－7，得 x2
1＋y2
1＝16，而 BC―→· DC―→＝(5－x1，－y1)·(5＋x1，y1)＝25－x2
1－
y2
1＝25－16＝9.
答案：9
12．已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠DAB＝60°， EC―→＝2 DE―→，则 AE―→· DB―→的值为
________．
解析：如图所示，
∵ EC―→＝2 DE―→，∴ DE―→＝1
3
DC―→.
∵菱形 ABCD 的边长为 a，
∠DAB＝60°，
∴| DA―→|＝| DC―→|＝a，
DA―→· DC―→＝| DA―→|| DC―→|cos 120°＝－1
2
a2，
∵ DB―→＝ DA―→＋ DC―→，
∴ AE―→· DB―→＝( AD―→＋ DE―→)( DA―→＋ DC―→)
＝
AD―→＋1
3
DC―→
( DA―→＋ DC―→)
＝－ DA―→2＋1
3
DC―→2－2
3
DA―→· DC―→
＝－a2＋1
3
a2＋1
3
a2＝－a2
3
.
答案：－a2
3
13．在矩形 ABCD 中，边 AB，AD 的长分别为 2 和 1，若 E，F 分别是边 BC，CD 上的点，
且满足
| BE―→|
| BC―→|
＝
| CF―→|
| CD―→|
，则 AE―→· AF―→的取值范围是________．
解析：法一：取 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如
图所示直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2，1)．
∵
| BE―→|
| BC―→|
＝
| CF―→|
| CD―→|
，得 2| BE―→|＝| CF―→|，设 E(2，y)(0≤y≤1)，则 F(2－2y,1)．
∴ AE―→· AF―→＝(2，y)·(2－2y,1)＝2(2－2y)＋y＝4－3y∈[1,4]．
法二：∵
| BE―→|
| BC―→|
＝
| CF―→|
| CD―→|
，则| CF―→|＝2| BE―→|.
∵0≤| BE―→|≤1，
∴ AE―→· AF―→＝( AB―→＋ BE―→)·( AD―→＋ DF―→)
＝ AB―→· DF―→＋ BE―→· AD―→＝2| DF―→|＋| BE―→|
＝2(2－| CF―→|)＋| BE―→|＝4－3| BE―→|∈[1,4]．
答案：[1,4]
14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，
则 PA―→·( PB―→＋ PC―→)的最小值是________．
解析：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以
BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(－1,0)，
C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA―→＝(－x, 3－y)， PB―→＝(－1－x，－y)，
PC―→＝(1－x，－y)，所以 PA―→·( PB―→＋ PC―→)＝(－x， 3－y)·(－
2x，－2y)＝2x2＋2
y－ 3
2 2－3
2
，当 x＝0，y＝ 3
2
时， PA―→·( PB―→＋ PC―→)取得最小值，为
－3
2
.
答案：－3
2
[B 组——力争难度小题]
1.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2， AM―→＝
2 MD―→.若 AC―→· BM―→＝－3，则 AB―→· AD―→＝________.
解析：由题意可得 AC―→＝ AD―→＋ DC―→＝ AD―→＋1
2
AB―→，
BM―→＝ AM―→－ AB―→＝2
3
AD―→－ AB―→，
则 AC―→· BM―→＝
AD―→＋1
2
AB―→
·
2
3
AD―→－ AB―→
＝－3，
则2
3
| AD―→|2－1
2
| AB―→|2－2
3
AB―→· AD―→＝－3，
即 6－8－2
3
AB―→· AD―→＝－3，解得 AB―→· AD―→＝3
2
.
答案：3
2
2．已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a，b 是互相垂直的单位向量，且(a
－c)·( 3b－c)＝1，则|c|的最大值为________．
解析：法一：由题意可得(a－c)·( 3b－c)＝－a·c－ 3b·c＋|c|2＝1，则|c|2－(a
＋ 3b)·c－1＝0.
又|a＋ 3b|＝2，设 a＋ 3b 与 c 的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则|c|2－2|c|cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c|－ 1
|c|
≤2，
即
|c|2－2|c|－1≤0，
|c|2＋2|c|－1≥0，
解得 2－1≤|c|≤ 2＋1，则|c|max＝ 2＋1.
法二：不妨设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·( 3b－c)＝(1－x，－y)·(－
x， 3－y)＝1，化简得
x－1
2 2＋
y－ 3
2 2＝2，圆心
1
2
， 3
2 到坐标原点的距离为 1，则|c|max
＝ 2＋1.
答案： 2＋1
3．(2017·苏州考前模拟)已知点 A(1，－1)，B(4,0)，C(2，2)．平面区域 D 由所有满
足 AP―→＝λ AB―→＋μ AC―→ (1<λ≤a,1<μ≤b)的点 P(x，y)组成的区域．若区域 D 的面积为
16，则 a＋b 的最小值为________．
解析：如图，延长 AB 至点 N，延长 AC 至点 M，使得 AN＝aAB，AM
＝bAC.
四边形 ABEC、四边形 ANGM、四边形 EHGF 均为平行四边形．
由条件知，点 P(x，y)组成的区域 D 为图中的阴影部分，即四边形 EHGF(不含边界 EH，
EF)．
∵ AB―→＝(3,1)， AC―→＝(1,3)， BC―→＝(－2,2)．
∴|AB|＝ 10，|AC|＝ 10，|BC|＝2 2，cos∠CAB＝ 10＋10－8
2× 10× 10
＝3
5
，sin∠CAB＝4
5
.
∴四边形 EHGF 的面积为(a－1) 10×(b－1) 10×4
5
＝16.
∴(a－1)(b－1)＝2，a＋b＝a＋
2
a－1
＋1
＝(a－1)＋ 2
a－1
＋2.
由 a>1，b>1 知，当且仅当 a－1＝ 2，即 a＝b＝ 2＋1 时，a＋b 取得最小值 2 2＋2.
答案：2 2＋2
4．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量 OA―→，OB―→， OC―→的
模分别为 1,1， 2， OA―→与 OC―→的夹角为α，且 tan α＝7， OB―→与 OC―→的夹
角为 45°.若 OC―→＝m OA―→＋n OB―→ (m，n∈R)，则 m＋n＝________.
解析：法一：如图，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面
直角坐标系，则 A(1，0)，
由 tan α＝7，α∈
0，π
2 ，
得 sin α＝ 7
5 2
，cos α＝ 1
5 2
，
设 C(xC，yC)，B(xB，yB)，
则 xC＝| OC―→|cos α＝ 2× 1
5 2
＝1
5
，
yC＝| OC―→|sin α＝ 2× 7
5 2
＝7
5
，即 C
1
5
，7
5 .
又 cos(α＋45°)＝ 1
5 2
× 1
2
－ 7
5 2
× 1
2
＝－3
5
，
sin(α＋45°)＝ 7
5 2
× 1
2
＋ 1
5 2
× 1
2
＝4
5
，
则 xB＝| OB―→|cos(α＋45°)＝－3
5
，
yB＝| OB―→|sin(α＋45°)＝4
5
，即 B
－3
5
，4
5 .
由 OC―→＝m OA―→＋n OB―→，可得
1
5
＝m－3
5
n，
7
5
＝4
5
n，
解得
m＝5
4
，
n＝7
4
，
所以 m＋n＝5
4
＋7
4
＝3.
法二：由 tan α＝7，α∈
0，π
2 ，
得 sin α＝ 7
5 2
，cos α＝ 1
5 2
，
则 cos(α＋45°)＝ 1
5 2
× 1
2
－ 7
5 2
× 1
2
＝－3
5
，
所以 OB―→· OC―→＝1× 2× 2
2
＝1，
OA―→· OC―→＝1× 2× 1
5 2
＝1
5
，
OA―→· OB―→＝1×1×
－3
5 ＝－3
5
，
由 OC―→＝m OA―→＋n OB―→，得 OC―→· OA―→＝m OA―→2＋n OB―→· OA―→，即1
5
＝m－3
5
n.①
同理可得 OC―→· OB―→＝m OA―→· OB―→＋n OB―→2，
即 1＝－3
5
m＋n.②
①＋②得 2
5
m＋2
5
n＝6
5
，即 m＋n＝3.
答案：3
第 3 课时 解三角形(能力课)
[常考题型突破]
三角变换与解三角形的综合问题
[例 1] (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC＝6，cos B＝4
5
，C＝π
4
.
(1)求 AB 的长；
(2)求 cos
A－π
6 的值．
[解] (1)因为 cos B＝4
5
，0＜B＜π，
所以 sin B＝ 1－cos2B＝ 1－
4
5 2＝3
5
.
由正弦定理知 AC
sin B
＝ AB
sin C
，
所以 AB＝AC·sin C
sin B
＝
6× 2
2
3
5
＝5 2.
(2)在△ABC 中，A＋B＋C＝π，
所以 A＝π－(B＋C)，
于是 cos A＝－cos(B＋C)＝－cos
B＋π
4
＝－cos Bcosπ
4
＋sin Bsinπ
4
.
又 cos B＝4
5
，sin B＝3
5
，
故 cos A＝－4
5
× 2
2
＋3
5
× 2
2
＝－ 2
10
.
因为 0＜A＜π，所以 sin A＝ 1－cos2A＝7 2
10
.
因此，cos
A－π
6 ＝cos Acosπ
6
＋sin Asin π
6
＝－ 2
10
× 3
2
＋7 2
10
×1
2
＝7 2－ 6
20
.
[方法归纳]
(1)解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件
灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．
第三步：求结果
(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如 A＋B＋C＝π，
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C, 以及在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B 等．
[变式训练]
1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 bsin
2C＝csin B.
(1)求角 C；
(2)若 sin
B－π
3 ＝3
5
，求 sin A 的值．
解：(1)由正弦定理及 bsin 2C＝csin B，
得 2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B，
因为 sin B>0，sin C>0，所以 cos C＝1
2
，
又 C∈(0，π)，所以 C＝π
3
.
(2)因为 C＝π
3
，所以 B∈
0，2π
3 ，
所以 B－π
3
∈
－π
3
，π
3 ，
又 sin
B－π
3 ＝3
5
，
所以 cos
B－π
3 ＝ 1－sin2 B－π
3 ＝4
5
.
又 A＋B＝2π
3
，即 A＝2π
3
－B，
所以 sin A＝sin
2π
3
－B
＝sin
π
3
－
B－π
3 ＝sinπ
3
cos
B－π
3 －cosπ
3
sin
B－π
3 ＝
3
2
×4
5
－1
2
×3
5
＝4 3－3
10
.
2．(2017·苏北四市一模)在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
tan B＝2，tan C＝3.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 c＝3，求 b 的长．
解：(1)因为 tan B＝2，tan C＝3，A＋B＋C＝π，
所以 tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－ tan B＋tan C
1－tan Btan C
＝－ 2＋3
1－2×3
＝1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝π
4
.
(2)因为 tan B＝sin B
cos B
＝2，且 sin2B＋cos2B＝1，
又 B∈(0，π)，所以 sin B＝2 5
5
.
同理可得 sin C＝3 10
10
.
由正弦定理，得 b＝csin B
sin C
＝
3×2 5
5
3 10
10
＝2 2.
解三角形与平面向量结合
[例 2] (2017·盐城模拟)设△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且△ABC
面积的大小为 S，3 AB―→· AC―→＝2S.
(1)求 sin A 的值；
(2)若 C＝π
4
， AB―→· AC―→＝16，求 b.
[解] (1)由 3 AB―→· AC―→＝2S，
得 3bccos A＝2×1
2
bcsin A，即 sin A＝3cos A.
整理化简得 sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，
所以 sin2A＝ 9
10
.
又 A∈(0，π)，所以 sin A>0，故 sin A＝3 10
10
.
(2)由 sin A＝3cos A 和 sin A＝3 10
10
，
得 cos A＝ 10
10
，
又 AB―→· AC―→＝16，所以 bccos A＝16，
得 bc＝16 10. ①
又 C＝π
4
，
所以 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝3 10
10
× 2
2
＋ 10
10
× 2
2
＝2 5
5
.
在△ABC 中，由正弦定理 b
sin B
＝ c
sin C
，
得
b
2 5
5
＝
c
2
2
，
即 c＝ 10
4
b. ②
联立①②得 b＝8.
[方法归纳]
求解三角函数与平面向量综合问题的一般思路
(1)求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式．利用
同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．
(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量
的相关运算把问题转化为三角函数问题．
[变式训练]
1．(2017·南通三调)已知△ABC 是锐角三角形，向量 m＝ cos
A＋π
3 ，sin
A＋π
3 ，n
＝(cos B，sin B)，且 m⊥n.
(1)求 A－B 的值；
(2)若 cos B＝3
5
，AC＝8，求 BC 的长．
解：(1)因为 m⊥n，
所以 m·n＝cos
A＋π
3 cos B＋sin
A＋π
3 sin B＝cos
A＋π
3
－B
＝0，
又 A，B∈
0，π
2 ，所以 A＋π
3
－B∈
－π
6
，5π
6 ，
所以 A＋π
3
－B＝π
2
，即 A－B＝π
6
.
(2)因为 cos B＝3
5
，B∈
0，π
2 ，所以 sin B＝4
5
.
所以 sin A＝sin
B＋π
6
＝sin Bcosπ
6
＋cos Bsinπ
6
＝4
5
× 3
2
＋3
5
×1
2
＝4 3＋3
10
.
由正弦定理，得 BC＝sin A
sin B
×AC＝
4 3＋3
10
4
5
×8＝4 3＋3.
2．(2017·镇江调研)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，向量 m＝(a
－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且 m∥n.
(1)求 B；
(2)若 b＝ 13，cos
A＋π
6 ＝3 39
26
，求 a.
解：(1)因为 m∥n，所以 a(a－c)－(b＋c)(b－c)＝0，
即 a2＋c2－b2＝ac，
所以 cos B＝a2＋c2－b2
2ac
＝ ac
2ac
＝1
2
，
又 B∈(0，π)，故 B＝π
3
.
(2)由(1)得 A∈
0，2π
3 ，所以 A＋π
6
∈
π
6
，5π
6 ，
又 cos
A＋π
6 ＝3 39
26
，
所以 sin
A＋π
6 ＝5 13
26
，
所以 sin A＝sin
A＋π
6 －π
6
＝sin
A＋π
6 cosπ
6
－cos
A＋π
6 sinπ
6
＝5 13
26
× 3
2
－3 39
26
×1
2
＝ 39
26
.
在△ABC 中，由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，
可得 a＝b·sin A
sin B
＝
13× 39
26
3
2
＝1.
以平面图形为背景的解三角形问题
[例 3] (2017·南通调研)如图，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c，a＝b(sin C＋cos C)．
(1)求∠ABC；
(2)若∠A＝π
2
，D 为△ABC 外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形 ABDC 面积
的最大值．
[解] (1)在△ABC 中，因为 a＝b(sin C＋cos C)，
所以 sin A＝sin B(sin C＋cos C)，
所以 sin(B＋C)＝sin B(sin C＋cos C)，
所以 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Bcos C,
所以 cos Bsin C＝sin Bsin C，
又因为 C∈(0，π)，故 sin C≠0，
所以 cos B＝sin B，即 tan B＝1.
又 B∈(0，π)，所以 B＝π
4
.
(2)在△BCD 中，DB＝2，DC＝1，
BC2＝12＋22－2×1×2×cos D＝5－4cos D.
又 A＝π
2
，由(1)可知∠ABC＝π
4
，
所以△ABC 为等腰直角三角形，
S△ABC＝1
2
×BC×1
2
×BC＝1
4
BC2＝5
4
－cos D，
又 S△BDC＝1
2
×BD×DC×sin D＝sin D,
所以 S 四边形 ABDC＝5
4
－cos D＋sin D＝5
4
＋ 2sin
D－π
4 .
所以当 D＝3π
4
时，四边形 ABDC 的面积有最大值，最大值为5
4
＋ 2.
[方法归纳]
平面图形为背景的解三角形问题的一般思路
(1)建联系
在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条
件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中到某一个三角形.
(2)用定理
①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
[变式训练]
(2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形 ABCD 中，DA⊥AB，DE
＝1，EC＝ 7，EA＝2，∠ADC＝2π
3
，且∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数
列．
(1)求 sin∠CED；
(2)求 BE 的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列，
所以 2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，
所以∠BEC＝π
3
.
(1)在△CDE 中，
由余弦定理得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
由题设知 7＝CD2＋1＋CD，
即 CD2＋CD－6＝0，
解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理得 EC
sin∠EDC
＝ CD
sin α
，
于是 sin α＝
CD·sin2π
3
EC
＝
2× 3
2
7
＝ 21
7
，
即 sin∠CED＝ 21
7
.
(2)由题设知 0<α<π
3
，
由(1)知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－21
49
＝2 7
7
，
又∠AEB＝π－∠BEC－α＝2π
3
－α，
所以 cos∠AEB＝cos
2π
3
－α
＝cos2π
3
cos α＋sin2π
3
·sin α＝－1
2
cos α＋ 3
2
sin
α＝－1
2
×2 7
7
＋ 3
2
× 21
7
＝ 7
14
.
在 Rt△EAB 中，cos∠AEB＝EA
BE
＝ 2
BE
＝ 7
14
，
所以 BE＝4 7.
[课时达标训练]
1．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
(1)设 BC―→· CA―→＝ CA―→· AB―→，求证：△ABC 是等腰三角形；
(2)设向量 s＝(2sin C，－ 3)，t＝(cos 2C，cos C)，且 s∥t，sin A＝1
3
，求 sin
π
3
－B
的值．
解：(1)证明：由 BC―→· CA―→＝ CA―→· AB―→，
得 abcos C＝bccos A.
化简且由正弦定理得，sin Acos C＝sin Ccos A，
∴sin(A－C)＝0.
∴A＝C.
故△ABC 是等腰三角形．
(2)由 s∥t，得 2sin Ccos C＝－ 3cos 2C，
∴tan 2C＝－ 3.∵C∈
0，π
2 ，
∴2C∈(0，π)．
∴2C＝2π
3
，故 C＝π
3
.
∵sin A＝1
3
，A∈
0，π
2 ，得 cos A＝2 2
3
.
∴sin
π
3
－B
＝sin
A－π
3 ＝1
2
sin A－ 3
2
cos A＝1－2 6
6
.
2．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a>b，a
＝5，c＝6，sin B＝3
5
.
(1)求 b 和 sin A 的值；
(2)求 sin
2A＋π
4 的值．
解：(1)在△ABC 中，因为 a>b，
故由 sin B＝3
5
，可得 cos B＝4
5
.
由已知及余弦定理，
得 b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以 b＝ 13.
由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，得 sin A＝asin B
b
＝3 13
13
.
所以 b 的值为 13，sin A 的值为3 13
13
.
(2)由(1)及 a0 且 sin α＝7 2
10
.
同理可得 sin β＝ 5
5
，
∴tan α＝7，tan β＝1
2
.
∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
7＋1
2
1－7×1
2
＝－3.
∴tan
－19π
4
＋α＋β
＝tan
α＋β－3π
4
＝
tan α＋β －tan3π
4
1＋tan α＋β tan3π
4
＝－1
2
.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝
－3＋1
2
1－ －3× 1
2
＝－1，
∵0<α<π
2
，0<β<π
2
，
∴0<α＋2β<3π
2
，从而α＋2β＝3π
4
.
结合条件等式进行化简求值
[例 2] (2017·南京模拟)已知α为锐角，cos
α＋π
3 ＝2 5
5
.
(1)求 sin
α＋7π
12 的值；
(2)求 tan
2α＋2π
3 的值．
[解] (1)因为α为锐角，所以α＋π
3
∈
π
3
，5π
6 ，
又 cos
α＋π
3 ＝2 5
5
，
所以 sin
α＋π
3 ＝ 1－cos2 α＋π
3 ＝ 5
5
.
所以 sin
α＋7π
12 ＝sin
α＋π
3
＋π
4
＝sin
α＋π
3 cosπ
4
＋cos
α＋π
3 sinπ
4
＝ 2
2
×
2 5
5
＋ 5
5 ＝3 10
10
.
(2)由(1)知 sin
α＋π
3 ＝ 5
5
，
所以 sin
2α＋2π
3 ＝2sin
α＋π
3 cos
α＋π
3 ＝4
5
.
cos
2α＋2π
3 ＝cos2 α＋π
3 －sin2 α＋π
3 ＝3
5
.
所以 tan
2α＋2π
3 ＝
sin
2α＋2π
3
cos
2α＋2π
3
＝4
3
.
[方法归纳]
1 给式求值
给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转
化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
2 给值求值
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已
知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知
条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.
3 给值求角
解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的
范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角.
[变式训练]
1．已知α，β均为锐角，且 sin α＝3
5
，tan(α－β)＝－1
3
.
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
解：(1)因为α，β∈
0，π
2 ，从而－π
2
<α－β<π
2
.
又因为 tan(α－β)＝－1
3
<0，所以－π
2
<α－β<0.
所以 sin(α－β)＝－ 10
10
.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝3 10
10
.
因为α为锐角，且 sin α＝3
5
，所以 cos α＝4
5
.
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝4
5
×3 10
10
＋3
5
×
－ 10
10 ＝9 10
50
.
2．(2017·南通二调)已知 sin
α＋π
4 ＝ 2
10
，α∈
π
2
，π
.
求：(1)cos α的值；
(2)sin
2α－π
4 的值．
解：(1)法一：因为α∈
π
2
，π
，
所以α＋π
4
∈
3π
4
，5π
4 ，
又 sin
α＋π
4 ＝ 2
10
，
所以 cos
α＋π
4 ＝－ 1－sin2 α＋π
4
＝－ 1－
2
10 2＝－7 2
10
.
所以 cos α＝cos
α＋π
4 －π
4
＝cos
α＋π
4 cosπ
4
＋sin
α＋π
4 sinπ
4
＝－7 2
10
× 2
2
＋ 2
10
× 2
2
＝－3
5
.
法二：由 sin
α＋π
4 ＝ 2
10
，
得 sin αcosπ
4
＋cos αsinπ
4
＝ 2
10
，
即 sin α＋cos α＝1
5
.①
又 sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得 cos α＝－3
5
或 cos α＝4
5
.
因为α∈
π
2
，π
，所以 cos α＝－3
5
.
(2)因为α∈
π
2
，π
，cos α＝－3
5
，
所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－
－3
5 2＝4
5
.
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×4
5
×
－3
5 ＝－24
25
，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×
－3
5 2－1＝－ 7
25
.
所以 sin
2α－π
4 ＝sin 2αcosπ
4
－cos 2αsinπ
4
＝
－24
25 × 2
2
－
－ 7
25 × 2
2
＝－
17 2
50
.
向量与三角求值结合
[例 3] 已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，
cos x＋2cos α)，其中 0＜α＜x＜π.
(1)若α＝π
4
，求函数 f(x)＝b·c 的最小值及相应 x 的值；
(2)若 a 与 b 的夹角为π
3
，且 a⊥c，求 tan 2α的值．
[解] (1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝π
4
，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin x·cos x＋2sin xcos α＝2sin xcos
x＋ 2(sin x＋cos x)．
令 t＝sin x＋cos x
π
4
＜x＜π
，
则 2sin xcos x＝t2－1，且－1＜t＜ 2.
则 y＝f(x)＝t2＋ 2t－1＝
t＋ 2
2 2－3
2
，－1＜t＜ 2.
∴t＝－ 2
2
时，ymin＝－3
2
，此时 sin x＋cos x＝－ 2
2
.
由于π
4
＜x＜π，故 x＝11π
12
.
∴函数 f(x)的最小值为－3
2
，相应 x 的值为11π
12
.
(2)∵a 与 b 的夹角为π
3
，∴cosπ
3
＝ a·b
|a|·|b|
＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－
α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝π
3
.
∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，
即 sin
2α＋π
3 ＋2sin 2α＝0.
∴5
2
sin 2α＋ 3
2
cos 2α＝0，
∴tan 2α＝－ 3
5
.
[方法归纳]
平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三
角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，
对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再
利用三角函数的相关知识进行求解.
[变式训练]
(2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
解：(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x.
则 tan x＝－ 3
3
.
又 x∈[0，π]，所以 x＝5π
6
.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos
x＋π
6 .
因为 x∈[0，π]，所以 x＋π
6
∈
π
6
，7π
6 ，
从而－1≤cos
x＋π
6 ≤ 3
2
.
于是，当 x＋π
6
＝π
6
，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
当 x＋π
6
＝π，即 x＝5π
6
时，f(x)取到最小值－2 3.
[课时达标训练]
1．(2017·南通模拟)已知 cos α＝1
3
，cos(α＋β)＝－1
3
，且α∈
0，π
2 ，β∈
0，π
2 .
(1)求 sin 2α的值；
(2)求 cos(α－β)的值．
解：(1)∵α∈
0，π
2 ，∴2α∈(0，π).
∵cos α＝1
3
，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－7
9
，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝4 2
9
.
(2)∵α∈
0，π
2 ，β∈
0，π
2 ，
∴α＋β∈(0，π)，又 cos(α＋β)＝－1
3
，
∴sin(α＋β)＝ 1－cos2 α＋β ＝2 2
3
，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝
－7
9 ×
－1
3 ＋4 2
9
×2 2
3
＝23
27
.
2．设向量 a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)(λ＞0，0＜α＜β＜
π)，且 a＋b 与 a－b 互相垂直．
(1)求λ的值；
(2)若 a·b＝4
5
，tan β＝4
3
，求 tan α的值．
解：(1)∵a＋b 与 a－b 垂直，
∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝cos2α＋(λ－1)2sin2α－1＝(λ－1)2sin2α－sin2α
＝0，
解得λ＝0 或λ＝2.
∵λ＞0，∴λ＝2.
(2)由(1)知 a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝4
5
，且 0＜α＜β＜π，
得 tan(α－β)＝－3
4
.
则 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tan α－β ＋tan β
1－tan α－β tan β
＝
－3
4
＋4
3
1－
－3
4 ×4
3
＝ 7
24
.
3．已知向量 a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且 a，b 共线，其中θ∈
0，π
2 .
(1)求 tan
θ＋π
4 的值；
(2)若 5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0＜φ＜π
2
，求φ的值．
解：(1)由 a∥b，得 sin θ＝2cos θ.
因为θ∈
0，π
2 ，所以 cos θ≠0，
所以 tan θ＝2.
所以 tan
θ＋π
4 ＝tan θ＋1
1－tan θ
＝－3.
(2)由(1)知 tan θ＝2，又因为θ∈
0，π
2 ，
所以 sin θ＝2 5
5
，cos θ＝ 5
5
.
由 5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，
得 5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3 5cos φ，
即 5cos φ＋2 5sin φ＝3 5cos φ，从而 tan φ＝1.
因为 0＜φ＜π
2
，所以φ＝π
4
.
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若角α，β的顶点都为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半
轴，角α的终边经过点 P
1
2
，cos2θ
，角β的终边经过点 Q(sin2θ，－1)，且 OP―→· OQ―→＝
－1
2
.
(1)求 cos 2θ的值；
(2)求 tan(α＋β)的值．
解：(1)由 OP―→· OQ―→＝－1
2
，得 1
2
sin2θ－cos2θ＝－1
2
，
∴sin2θ＝2cos2θ－1，即1－cos 2θ
2
＝cos 2θ，
解得 cos 2θ＝1
3
.
(2)由(1)，知 sin2θ＝1－cos 2θ
2
＝1
3
，则 cos2θ＝2
3
，
得 P
1
2
，2
3 ，Q
1
3
，－1
，∴tan α＝4
3
，tan β＝－3，
故 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
4
3
－3
1－4
3
× －3
＝－1
3
.
5．如图所示，角θ的始边 OA 落在 x 轴的非负半轴上，其始边、终
边分别与单位圆交于点 A，C，θ∈
0，π
2 ，△AOB 为正三角形．
(1)若点 C 的坐标为
3
5
，4
5 ，求 cos∠BOC；
(2)记 f(θ)＝BC2，求函数 f(θ)的解析式和值域．
解：(1)因为点 C 的坐标为
3
5
，4
5 ，
根据三角函数的定义，得 sin∠COA＝4
5
，cos∠COA＝3
5
.
因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB＝π
3
.
所以 cos∠BOC＝cos
∠COA＋π
3
＝cos∠COAcosπ
3
－sin∠COAsinπ
3
＝3
5
×1
2
－4
5
× 3
2
＝3－4 3
10
.
(2)因为∠AOC＝θ
0<θ<π
2 ，所以∠BOC＝π
3
＋θ.
在△BOC 中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得 f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC
＝12＋12－2×1×1×cos
θ＋π
3 ＝2－2cos
θ＋π
3 .
因为 0<θ<π
2
，
所以π
3
<θ＋π
3
<5π
6
.
所以－ 3
2
0，
ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示．
(1)求 A，ω，φ的值；
(2)设θ为锐角，且 f(θ)＝－3 3
5
，求 f
θ－π
6 的值．
解：(1)由图象，得 A＝ 3，
最小正周期 T＝4
3
×
7π
12
＋π
6 ＝π，所以ω＝2π
T
＝2，
∴f(x)＝ 3sin(2x＋φ)，
由 f
7π
12 ＝－ 3，得 2×7π
12
＋φ＝－π
2
＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－5π
3
＋2kπ，k∈Z，
∵0<φ<π，∴φ＝π
3
.
(2)由 f(θ)＝ 3sin
2θ＋π
3 ＝－3 3
5
，
得 sin
2θ＋π
3 ＝－3
5
，
因为θ∈
0，π
2 ，所以 2θ＋π
3
∈
π
3
，4π
3 ，
又 sin
2θ＋π
3 <0，所以 2θ＋π
3
∈
π，4π
3 ，
所以 cos
2θ＋π
3 ＝－ 1－sin2 2θ＋π
3 ＝－4
5
，
所以 f
θ－π
6 ＝ 3sin 2θ＝ 3sin
2θ＋π
3 －π
3
＝ 3 sin
2θ＋π
3 cosπ
3
－cos
2θ＋π
3 sinπ
3
＝ 3
－3
5
×1
2
＋4
5
× 3
2 ＝12－3 3
10
.
