2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第3讲概率随机变量及其分布课时作业理

2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第3讲概率随机变量及其分布课时作业理

层级二 专题六 第3讲(理)‎ 限时50分钟　满分76分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2020·西安模拟)勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，其证明方法有几百种之多，著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图，在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形CFGH组成的．若Rt△ABC的三边长构成等差数列，则在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：C　[由于Rt△ABC的三边长成等差数列，所以2b＝a＋c，又a2＋b2＝c2，于是(2b－c)2＋b2＝c2，故＝，＝.大正方形ABDE的面积为c2，小正方形CFGH的面积为(b－a)2，在正方形ABDE内任取一点，此点取自小正方形CFGH内的概率为＝2＝.故选C.]‎ ‎2．(2020·石家庄模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A，B，C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[甲、乙两人从A，B，C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C×3＝6(种)，∴‎ - 9 -‎ 所求概率为＝.]‎ ‎3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为(　　)‎ A．0.9 B．0.8‎ C．1.2 D．1.1‎ 解析：A　[由题意得X＝0,1,2，‎ 则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，‎ 所以E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.]‎ ‎4．甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，，，则有人能够解决这个问题的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[本题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率，考查对立事件的概率公式，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．这个问题没有被解决的概率为＝，故有人能够解决这个问题的概率为1－＝.故选B项．]‎ ‎5．(2019·大连三模)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析：B　[每个轮次甲不能通过的概率为×＝，通过的概率为1－＝，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3×＝.]‎ - 9 -‎ ‎6．(2020·衡水模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销量x(单位：件)分布在[50,100)内，且销量x的分布频率f(x)＝若销量大于或等于70件，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，将频率视为概率，则随机变量X的数学期望为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：C　[由题意知解得5≤n≤9，故n可取5,6,7,8,9，代入f(x)，得－0.5＋－0.5＋－a＋－a＋－a＝1，得a＝0.15.故销量在[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率分别是0.2,0.3,0.3，频率之比为2∶3∶3，所以各组抽取的天数分别为2,3,3，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝1－－＝.‎ X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选C.]‎ 二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)‎ ‎7．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．‎ 解析：甲队以4∶1获胜的概率为[C0.6×0.4×0.52＋0.62×C0.5×0.5]×0.6＝0.18.‎ 答案：0.18‎ ‎8．(2019·宁波三模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的工作共分为A，B，C三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.‎ 工种类别 A B C - 9 -‎ 赔付频率 若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为________元．‎ 解析：设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每份保单的利润为随机变量X，则X的分布列为 X a a－5×105‎ P ‎1－ 保险公司期望利润E(X)＝a＋(a－5×105)×＝(a－5)(元)，‎ 根据规定知a－5≤0.2a，‎ 解得a≤6.25.‎ 设工种B的每份保单保费为b元，同理可得保险公司期望利润为(b－10)元，根据规定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5，‎ 设工种C的每份保单保费为c元，同理可得保险公司期望利润为(c－50)元，根据规定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5.‎ 则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．‎ 答案：81.25‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2020·长沙模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：‎ 销售量/份 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 天数 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎(视样本频率为概率)‎ ‎(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；‎ ‎(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份， 哪一种得到的利润更大？‎ 解析：(1)根据题意可得 - 9 -‎ P(ξ＝30)＝×＝，‎ P(ξ＝31)＝××2＝，‎ P(ξ＝32)＝××2＋×＝，‎ P(ξ＝33)＝××2＋××2＝，‎ P(ξ＝34)＝××2＋×＝，‎ P(ξ＝35)＝××2＝，‎ P(ξ＝36)＝×＝.‎ ξ的分布列如下：‎ ξ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ P E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8.‎ ‎(2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X，则X的可能取值有104,116,128，‎ 且P(X＝104)＝0.04，P(X＝116)＝0.12，‎ P(X＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84，‎ ‎∴E(X)＝104×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6.‎ 当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为Y，则Y的可能取值有96,108,120,132.‎ 且P(Y＝96)＝0.04，P(Y＝108)＝0.12，‎ P(Y＝120)＝0.25，P(Y＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59，‎ ‎∴E(Y)＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68.‎ ‎∵E(X)＞E(Y)，‎ ‎∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大．‎ ‎10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎ 　　　　　支付金额(元)‎ 支付方式　　　　　　‎ ‎(0,1 000]‎ ‎(1 000,2 000]‎ 大于2 000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 - 9 -‎ 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．‎ 解析：本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关．‎ ‎(1)由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：(100－30－25－5)人＝40人，则：‎ 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p＝＝.‎ ‎(2)由题意可知，‎ 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1 000元的人数占，金额大于1 000的人数占，‎ 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1 000元的人数占，金额大于1 000元的人数占，‎ 且X可能的取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2＋2＝，P(X＝2)＝×＝，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p(X)‎ ‎ 其数学期望：E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化．理由如下：‎ 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．‎ 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”．‎ - 9 -‎ ‎11．(2020·福建质检)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日起实施的个税新政主要内容包括：①个税起征点为5 000元；②每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；③专项附加扣除包括住房贷款利息或者住房租金(以下简称住房)、子女教育、赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：‎ 旧个税税率表(个税起征点3 500元)‎ 新个税税率表(个税起征点5 000元)‎ 缴税 级数 每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点 税率(%)‎ 每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除 税率(%)‎ ‎1‎ 不超过1 500元的部分 ‎3‎ 不超过3 000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1 500元至4 500元的部分 ‎10‎ 超过3 000元至12 000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4 500元至9 000元的部分 ‎20‎ 超过12 000元至25 000元的部分 ‎20‎ ‎4‎ 超过9 000元至35 000元的部分 ‎25‎ 超过25 000元至35 000元的部分 ‎25‎ ‎5‎ 超过35 000元至55 000元的部分 ‎30‎ 超过35 000元至55 000元的部分 ‎30‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 随机抽取某市1 000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入为24 000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项附加扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育专项附加扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除、符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除、符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除、既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人数之比是2∶1∶1∶1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，赡养老人2 000元/月等．‎ 假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：‎ - 9 -‎ ‎(1)设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；‎ ‎(2)根据新旧个税政策，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过其2019年的人均月收入？‎ 解析：(1)既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000＝18 000(元)，‎ 月缴个税X＝3 000×3%＋9 000×10%＋6 000×20%＝2 190；‎ 符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－1 000＝17 000(元)，‎ 月缴个税X＝3 000×3%＋9 000×10%＋5 000×20%＝1 990；‎ 符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－2 000＝16 000(元)，‎ 月缴个税X＝3 000×3%＋9 000×10%＋4 000×20%＝1 790.‎ 既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为24 000－5 000－1 000－1 000－2 000＝15 000(元)，‎ 月缴个税X＝3 000×3%＋9 000×10%＋3 000×20%＝1 590.‎ 所以X的可能值为2 190,1 990,1 790,1 590.‎ 依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1，‎ 所以P(X＝2 190)＝，P(X＝1 990)＝，‎ P(X＝1 790)＝，P(X＝1 590)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2 190‎ ‎1 990‎ ‎1 790‎ ‎1 590‎ P 所以E(X)＝2 190×＋1 990×＋1 790×＋1 590×＝1 950.‎ ‎(2)因为在旧个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年每月应纳税所得额(含税)为24 000－3 500＝20 500(元)，‎ 所以其月缴个税为1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋11 500×25%＝4 120(元)．‎ 因为在新个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税的均值为1 950元，‎ 所以该收入层级的IT从业者每月少缴纳的个税为4 120－1 950＝2 170(元)．‎ 设经过x个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过24 000元，‎ 则2 170x＞24 000，因为x∈N，所以x≥12.‎ - 9 -‎ 所以经过12个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过2019年的人均月收入．‎ - 9 -‎