指数与指数幂的运算学案
§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
1．根式的两条基本性质
(1)性质1：()n＝a (n>1，n∈N*，当n为奇数时，a∈R；
当n为偶数时，a≥0)．
当n为奇数时，表示a的n次方根，由n次方根的定义，得()n＝a；
当n为偶数时，表示正数a的正的n次方根或0的n次方根，由n次方根的定义，得()n＝a.
若a<0，n为偶数，则没有意义．如()2≠－2.
(2)性质2：＝(n>1，n∈N*)．
当n为奇数时，∵an＝an，
∴a是an的n次方根，即a＝；
当n为偶数时，(|a|)n＝an≥0，
∴|a|是an的n次方根，
即|a|＝＝
如＝2.
2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用
即对任意实数r，s，均有
(1)aras＝ar＋s (a>0，r，s∈R)(指数相加律)；
(2)(ar)s＝ars (a>0，r，s∈R) (指数相乘律)；
(3)(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈R)(指数分配律)
要注意上述运算性质中，底数大于0的要求
.
题型一 有理指数幂的混合运算
计算下列各式：
(1)0＋2－2·－－(0.01)0.5；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
分析 负化正，大化小，根式化为分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧．
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋－＝.
(2)原式＝(－1)－－＋－－＋1
8
＝－＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
点评 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．
题型二 有理数指数幂的化简
求值问题
化简：(1)－；
(2) (a>0)．
解 (1)原式＝－
＝a－b－(a－b)＝0.
(2)原式＝＝a2－－＝a＝.
点评 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a＝(a)2 (a>0)，a＝(a)3以及ab－a－b＝(a＋a－)(a－a－)等变形．
题型三 灵活应用——整体代入法
已知x＋y＝12，xy＝9，且x
1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
解析 ∵(ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6，
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
又ab>a－b (a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.
答案 D
2．(全国高考)如果a3＝3，a10＝384，a3n－3＝________.
解析 原式＝3n－3＝3·(128)n－3＝3·2n－3.
答案 3·2n－3
1．当a>0时，下列式子中正确的是( )
A．a＋a－＝0 B．a·a＝a
8
C．a÷a＝a2 D．(a－)2＝
答案 D
2．若(2x－6)x2－5x＋6＝1，则下列结果正确的是( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x＝2或x＝ D．非上述答案
答案 C
解析 由x2－5x＋6＝0，得(x－2)(x－3)＝0.
∴x＝2或x＝3，但x＝3时，00无意义．
由2x－6＝1，得x＝.故x＝2或x＝.
3．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2的值为( )
A．9 B．6 C．7 D．11
答案 C
解析 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7.
4．根据n次方根的意义，下列各式：①()n＝a；②不一定等于a；③n是奇数时，＝a；④n为偶数时，＝|a|.其中正确的有( )
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
答案 A
解析 按分数指数幂规定①②③④全正确．
5．化简 (a>0，b>0)的结果是( )
A. B．ab
C．a2b D.
答案 D
解析 原式＝
＝a＋－1＋·b1＋－2－＝.
6．计算：－2＋0－27＝________.
答案 14
解析 原式＝(2－2)－2＋1－33×＝24＋1－3＝14.
7．(1)计算：0.027－－－2＋2560.75＋0－3－1；
(2)若2x＋2－x＝3，求8x＋8－x的值．
解 (1)原式＝(0.33)－－＋(28)＋1－
＝0.3－1－36＋64＋1－
＝－－36＋64＋1＝32.
(2)∵8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
8
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]
＝3×(32－3)＝18
学习目标
1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性．
2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
自学导引
1．如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．
2．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
3．(1)n∈N*时，()n＝a.
(2)n为正奇数时，＝a；n为正偶数时，＝|a|.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，n、m∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，n、m∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)
.
一、根式的化简与求值
例1 求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3).
解 (1)＝－3.
(2)＝＝＝3.
(3)＝.
点评 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答．
变式迁移1 计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
解 (1)＝－8.
(2)＝|－10|＝10.
(3)＝3－π.
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二、根式与分数指数幂的互化
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0)：
(1)a2·；(2)a3·；(3).
分析 先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
解 (1)a2·＝a2·a＝a2＋＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3)＝(a·a)＝(a)＝a.
点评 此类问题应熟练应用a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
变式迁移2 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)；
(2)()－ (b>0)．
解 (1)原式＝＝＝
＝＝＝x－.
(2)原式＝[(b－)]－＝b－××＝b.
三、利用幂的运算性质化简、求值
例3 计算下列各式：
(1)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷ (a>0)．
解 (1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]
＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝(a·a－)÷(a－·a)
＝a×3－×2＝a0＝1.
点评 (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以便于运算，达到化繁为简的目的．
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(2)对于根式计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
变式迁移3 化简：
1．5－×0＋80.25×＋(×)6－.
解 原式＝×1＋2×2＋22×33－×
＝＋2＋108－＝110.
1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键．
2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)
一、选择题
1．下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10
答案 D
2．化简－得( )
A．6 B．2x
C．6或－2x D．－2x或6或2x
答案 C
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)
＝＝
3．()2·()2等于( )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
答案 B
4．把根式－2改写成分数指数幂的形式为( )
A．－2(a－b)－ B．－2(a－b)－
C．－2(a－－b－) D．－2(a－－b－)
答案 A
5．化简(ab)÷2的结果是( )
A．6a B．－a C．－9a D．9a
答案 D
二、填空题
6．计算：64－的值是________．
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答案
解析 64－＝(26)－＝2－4＝.
7．化简的结果是________．
答案 －
解析 由题意知x<0，∴＝－＝－.
8．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
答案 8
解析 52x－y＝(5x)2·(5y)－1＝42·2－1＝8.
三、解答题
9．计算：(0.027)－－－2＋256－3－1＋(－1)0.
解 原式＝(0.33)－－(－7－1)－2＋(44)－＋1
＝－49＋64－＋1＝19.
10．化简：
(1)()2＋＋；
(2)÷÷.
解 (1)原式＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1
(2)原式＝÷÷
＝÷÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－＝a－÷a－
＝a－＋＝a.
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