2020高中数学 第一章 解三角形1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

2020高中数学 第一章 解三角形1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

‎1.1.2　‎棱柱、棱锥和棱台的结构特征 ‎【基本知识】‎ ‎1.多面体的含义 多面体是由若干个 所围成的几何体.‎ ‎（1）多面体的面：围成多面体的各个 叫做多面体的面.‎ ‎（2）多面体的棱：相邻的两个面的 叫做多面体的棱.‎ ‎（3）多面体的顶点：棱和棱的 叫做多面体的顶点.‎ ‎（4）多面体的对角线：连接不在同一个面上的 的线段叫做多面体的对角线.‎ ‎2.多面体的分类 ‎（1）凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的 ，则这样的多面体叫做凸多面体.如果没有特殊说明，多面体指的都是凸多面体.‎ ‎（2）凹多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都不在这个平面的 ，则这样的多面体叫做凹多面体.‎ ‎（3）多面体至少有 面，多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体……‎ ‎3.几何体的截面 一个几何体和一个平面相交所得到的 叫做这个几何体的截面.‎ 知识点二　棱柱 ‎1.棱柱的定义 棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着 移动相同的距离所形成的几何体.‎ 观察这个移动过程，可以得到棱柱的主要特征性质：‎ 棱柱有两个互相 的面，并且夹在两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相 .‎ ‎（1）棱柱的底面：棱柱的 的面叫做棱柱的底面.‎ ‎（2）棱柱的侧面：除棱柱的底面以外的其余各面叫做棱柱的侧面.‎ ‎（3）棱柱的侧棱： 的公共边叫做棱柱的侧棱.‎ ‎（4）棱柱的高：棱柱两底面之间的 ，叫做棱柱的高.‎ ‎2.棱柱的表示 ‎（1）用表示两底面的对应顶点的字母来表示棱柱.‎ ‎（2）用一条对角线端点的两个字母来表示.‎ 如图中的棱柱可表示为棱柱或棱柱.‎ 6‎ ‎3.棱柱的分类 ‎（1）按底面的形状分：底面是三角形的叫做三棱柱，底面是四边形的叫做四棱柱，底面是五边形、六边形……的依次叫做五棱柱、六棱柱……‎ ‎（2）按侧棱是否和底面垂直分：‎ ‎①斜棱柱：侧棱和底面 的棱柱叫做斜棱柱；‎ ‎②直棱柱：侧棱和底面 的棱柱叫做直棱柱.‎ 特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做 .‎ ‎4.特殊的四棱柱 底面是 的棱柱叫做平行六面体.侧棱与底面 的平行六面体叫做直平行六面体.底面是 的直平行六面体是长方体.棱长都 的长方体是正方体.‎ 知识点三　棱锥 ‎1.棱锥的定义及相关概念 有一个面是多边形，其余各面都是 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，如图所示. ‎ ‎（1）棱锥的侧面：棱锥中 的各三角形，叫做棱锥的侧面.‎ ‎（2）棱锥的顶点： 的公共顶点叫做棱锥的顶点.‎ ‎（3）棱锥的侧棱：相邻两侧面的 叫做棱锥的侧棱.‎ ‎（4）棱锥的底面： 叫做棱锥的底面.‎ ‎（5）棱锥的高：顶点到底面的 ，叫做棱锥的高.‎ ‎2.棱锥的表示 棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示，如上图中的棱锥可表示为棱锥 或者棱锥 .‎ ‎3.棱锥的分类 棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做 、 、 ……‎ ‎4.正棱锥的定义 如果棱锥的底面是 ，且它的顶点在 的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥，其各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都 ，叫做棱锥的 .‎ 知识点四　棱台 ‎1.棱台的定义 棱锥被 于底面的平面所截，截面和 间的部分叫做棱台.‎ ‎（1）棱台的底面：原棱锥的 和 ‎ 6‎ 分别叫做棱台的上底面、下底面.‎ ‎（2）棱台的侧面：除上下底面外的其他各面叫做棱台的侧面.‎ ‎（3）棱台的侧棱： 的公共边叫做棱台的侧棱.‎ ‎（4）棱台的高：两底面间的 叫做棱台的高.‎ ‎2.棱台的表示 棱台可用表示上下底面的字母来命名，如三棱台，四棱台.‎ ‎3.棱台的分类 按底面多边形的边数分别为三棱台、四棱台、五棱台……‎ ‎4.正棱台的定义 由 截得的棱台叫做正棱台，其侧面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的 .‎ ‎【归纳·升华·领悟】‎ ‎（1）对于多面体概念的理解，注意以下两个方面 ‎①多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.一个多面体由几个面围成，就称为几面体.‎ ‎②多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分.‎ ‎（2）棱柱具有以下结构特征和特点 ‎①侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形.‎ ‎②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示.‎ ‎③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示.‎ ‎④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图（上右）所示.‎ ‎（3）对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形.‎ ‎（4）棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.‎ ‎【典型例题】‎ 考点一　棱柱、棱锥、棱台的有关概念 例1.（1）下列说法正确的是（　　）‎ A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱都相等 C.由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图 D.棱柱的侧棱总与底面垂直 ‎（2）下列说法正确的是（　　）‎ ‎①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③‎ 6‎ 棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.‎ A.① B.② C.③ D.④‎ 考点二　多面体的平面展开图 例2.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？‎ 考点三　多面体中基本点的计算 例3.正四棱台的高是‎17cm，两底面的边长分别是‎4cm和‎16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.‎ ‎【习题跟踪】‎ ‎1.下列四个几何体为棱台的是（　　）‎ ‎2.下列三个命题，其中正确的是（　　）‎ ‎（1）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；‎ ‎（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；‎ ‎（3）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎3.如图所示为长方体，，当用平面把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.‎ 6‎ ‎4.下列图形中，不能折成三棱柱的是（　　） ‎ ‎5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示，，，是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形的形状为 .（等边三角形、等腰三角形或直角三角形）‎ ‎6.如图所示，正三棱柱的底面边长是‎4cm，过的一个平面交侧棱于点，若的长为‎2cm，则截面的面积为 .‎ ‎7.如图所示，正三棱锥的底面边长为，高为，求它的侧棱的长和斜高的长.‎ ‎8.正三棱台的上、下底面边长、高分别为1、2、2，计算它的斜高.‎ 6‎ ‎【方法·规律·小结】‎ ‎1.根据几何体的结构特征判断几何体的类型.首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.‎ ‎2.多面体的表面展开可实现空间图形平面化的化归思想.‎ ‎3.多面体的截面问题 一个平面截一个多面体所得截面是平面多边形，因此多面体的问题往往转化到平面多边形的问题上来处理.‎ 其常用的关系有：‎ ‎（1）正棱锥中，它的高、斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形，侧棱、侧棱在底面上的射影和高也组成一个直角三角形.‎ ‎（2）在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线段、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线段、侧棱和相应两底面正多边形的顶点与中心连线段组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形.正棱台的计算问题，实际上就是这几个直角梯形中的计算问题.‎ 6‎