人教A版选修1-12-2-2双曲线的简单的几何性质（2）（含答案）

人教A版选修1-12-2-2双曲线的简单的几何性质（2）（含答案）

§2．2．2 双曲线的简单的几何性质（2） 【学情分析】： 1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一 些简单的问题； 2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程； 【教学目标】： 知识与技能 1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质； 2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题； 过程与方法 1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤； 2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想； 情感态度与价值观 通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】： 双曲线的简单几何性质的运用 【教学难点】： 直线与双曲线的位置关系的求解技巧 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一．复习 1．双曲线的两种标准方程是什么？ 2.双曲线的几何性质有哪些？ 范围、对称性、顶点、离心率等。 通过复习，有利于学生在已有知 识基础上开展学习；提出新问 题，引发学习兴趣。 二．例题、 练习 1．例 4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕 其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m ，上口 半径为 13 m ，下口半径为 25 m ，高 55 m ，试选择适 当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到 1 m ） 解：如图建立直角坐标系， 设双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x ，C（13，y）,B(25 , y-55), 点 B、C 在双曲线上， 12a 双曲线的几何性质的简单应用           1 12 13 155 12 25 2 2 2 2 2 2 2 2 b y b y 解得 6252 b 所得双曲线方程为 1625144 22  yx 2． 例 5：点 ( , )M x y 到定点 F（5,0）的距离和它到定 直线 16: 5l x  的距离的比是常数 5 4 ，求点 M 的轨 迹 分析：一般法求点的轨迹方程，教师可向学生简单介 绍双曲线的第二定义； 解：设 d 是点 M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨 迹的集合就是： 5{ | }4 MFP M d   则： 2 2( 5) 5 16 4 5 x y x     将上式两边平方，并化简，得： 2 29 16 144x y  即： 2 2 116 9 x y  3．练习：教科书练习 5 4.补充例题： （1）已知双曲线 C：x2－ 4 2y =1，过点 P（1，1）作直 线 l，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件 的直线 l 共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D. 4 条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D （2）若双曲线 x2－y2＝1 的右支上一点 P（a，b）到直 线 y=x 的距离为 2 ，则 a+b 的值为 A－ 2 1 B 2 1 C± 2 1 D±2 答案：B 解析：P（a，b）点在双曲线上，则有 a2－b2=1，即 （a+b）（a－b）=1d= 2 || ba  = 2 ，∴|a－b|=2 又 P 点 在右支上，则有 a>b，∴a－b=2 ∴|a+b|×2=1，a+b= 2 1 6．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ， 0）直线 y=x－1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐 标为 3 2 ，则此双曲线的方程是 （ ） A 143 22  yx B 134 22  yx C 125 22  yx D 152 22  yx 答 案 :D 解 析 设 双 曲 线 方 程 为 2 2 2 2 2 2 1, 7x y a ba b     1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 分别代入双 曲线方程并相减即可求解 三、小结 1． 解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样 的？ 2． 解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路 与方法是怎样的？ 五、作业 教科书习题 2.2 B 组 1、2、3 练习与测试： 1．若双曲线的渐近线方程为 xy 3 ，它的一个焦点是  0,10 ，则双曲线的方程是__________. 答案： 19 2 2  yx 2．双曲线 2 2 1x y  的左焦点为 F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线 PF 的斜率的变化 范围是 （目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案： ( ,0) (1, )   解析：画出图形，利用数形结合法求解。 3. 设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2－2y2=1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程 是_________________. 解析：双曲线中，a= 2 1 =b，∴F（±1，0），e= a c = 2 .∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为 2 2 ∴长半轴长为 2 ，短半轴长为 1. ∴方程为 2 2x +y2=1. 4. （1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线； （2）试给出方程 62 2  kk x + 16 2 2  kk y =1 表示双曲线的充要条件. 解：（1）3－k2>1－k>0  k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆； 1－k>3 －k2>0 k∈（－ 3 ，－1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆；1－k=3－k2>0 k=－1，表示的 是一个圆；（1－k）（3－k2）<0  k∈（－∞，－ 3 ）∪（1， 3 ），表示的是双曲线；k=1，k=－ 3 ， 表示的是两条平行直线；k= 3 ，表示的图形不存在. （2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0 k∈（－3，－ 3 1 ）∪（ 2 1 ，2）. 5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0）直线 y=x－1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐 标为 3 2 ，则此双曲线的方程是 （ ） A 143 22  yx B 134 22  yx C 125 22  yx D 152 22  yx 答案:D 解析设双曲线方程为 2 2 2 2 2 2 1, 7x y a ba b     1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求 解 6.过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，以 MN 为 直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２ 7.已知点 ( 2,0), (2,0)M N ，动点 P 满足条件| | | | 2 2PM PN  .记动点 P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若 ,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OA OB  的最小值. 解：（1）依题意，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为： 2 2x y 12 2 － ＝ （x0） （1） 当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x＝x0，此时 A（x0， 2 0x 2－ ）， B（x0，－ 2 0x 2－ ）， OA OB  ＝2 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，代入双曲线方程 2 2x y 12 2 － ＝ 中，得：（1－k2） x2－2kbx－b2－2＝0……………………1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4k b 4 1 k b 2 0 2kbx x 01 k b 2x x 0k 1           ＝ － （ － ）（－ － ） ＋ ＝ － ＋＝ － 解得|k|1 又 OA OB  ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝ 2 2 2 2k 2 42k 1 k 1 ＋ ＝ ＋－ － 2 综上可知 OA OB  的最小值为 2 设中心为 O，正西的观测点为 A，正东的观测点为 B，正北的观测点为 C，以 O 为原点建立直角坐标系， 由已知巨响的位置 M 在 AC 的中垂线上，且在以 A、B 为焦点，实轴为 1360 的双曲线左支上，AC 的中垂 线： y x  ① 双曲线： 2 2 2 1680 578000 x y  ② 解①②得 68 2 68 2 x y      ∴巨响位于西北方向，距中心为 68m。