湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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雅礼教育集团2019年下学期期中考试试卷
高一数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
特称命题的否定为全称命题。
【详解】由题意得原命题的否定为.
故选C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
2.已知集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
3.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同底数幂运算法则完成计算.
【详解】因为，
故选：C
【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：，.
4.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先令得，代入原式，即可求出结果.
【详解】令得，代入可得：.
故选：A
【点睛】本题主要考查由解析式求函数值，利用赋值法即可求解，属于基础题型.
5.若且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质对四个选项逐一判断.
【详解】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；
选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.
【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.
6.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据集合B的定义可得，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；所以.
考点：集合的基本运算.
7.若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.
【详解】因为，由可得：，因此；即“”是“”的充分条件；
若，，满足，但是不满足，因此由“”不能推出“”，
即“”不是“”的必要条件.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
8.已知，且，函数在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y轴的截距大于1，当底数0
. 所以ab<0.
.
所以
，所以.
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
14.已知，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意得到，再由，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，所以，
因此.
故答案为：
【点睛】本题主要考查根式的化简求出，熟记根式的运算性质即可，属于常考题型.
15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
因为偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
16.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数型复合函数的单调性，分别讨论，，，，五种情况，即可得出结果.
【详解】当时，单调递减，，因此在定义域内是减函数，为使函数在区间上是减函数，只需，即，所以；
当时，非增非减，不满足题意；
当时，单调递减，，因此在定义域内是增函数，不满足题意；
当时，非增非减，不满足题意；
当时，单调递增，，因此在定义域内是减函数，为使在区间上是减函数，只需显然成立，因此满足题意；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数，熟记对数函数以及一次函数的单调性即可，属于常考题型.
三、解答题（共6小题，共70分）
17.若不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由不等式解集，得到和是方程的两个根，根据根与系数关系，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）根据题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
所以和是方程的两个根；
所以，解得；
（2）由（1），不等式的解集为，可化为的解集为，
因此，只需，解得.
【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，以及一元二次不等式恒成立的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.
18.已知函数且的图象经过点.
（1）求的值；
（2），比较与的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由函数所过定点代入函数解析式，即可求出结果；
（2）作差法比较与的大小，再由指数函数单调性，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数且的图象经过点，
所以，解得；
（2）因为，，所以；
又指数函数单调递增，因此.
【点睛】本题主要考查由函数过定点求参数，以及由指数函数单调性比较大小，熟记指数函数的及其性质即可，属于常考题型.
19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据时的解析式，先求出时，，根据奇函数的定义，即可得出结果；
（2）分情况讨论，结合二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】（1）因为当时，，
因此时，，，
又函数是定义在上的奇函数，所以，，
因此，即；
故，函数的解析式为；
（2）由（1），当，，在上单调递增，在上单调递减，因此；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
因此；
又；
所以，函数的值域为.
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及求分段函数的值域问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.
20.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（）后还剩百分之几的污染物．
（）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）．
【答案】（1）个小时后还剩的污染物；（2）污染物减少所需要的时间为个小时.
【解析】
试题分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；
（2）由污染物减少50%，即P=50%P0列等式求解污染物减少50%所需要的时间．
试题解析：
（）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（）当时，有，
解得
，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
21.设函数且是定义域为奇函数.
（1）若，试求不等式解集；
（2）若，且，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
先由函数是奇函数求出，得到；
（1）根据得到，单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；
（2）先由得，，令，先求出，得到的单调性，从而可求出最小值.
【详解】因为函数且是定义域为的奇函数，
所以，所以，；经检验满足题意
（1）由得，解得或（舍）；
又指数函数单调递增，单调递减；
因此单调递增；
又不等式可化为；
所以，即，解得或；
即不等式的解集为：；
（2）因为，所以，即，解得或（舍）；
因此，所以，
令，易知在上单调递增，因此，
则，
又在上单调递减，在上单调递增；
因此，即在上的最小值为.
【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.
22.已知函数，对任意的，恒有.
（1）证明：当时，；
（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）证明过程见详解；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由题意得到恒成立，得，得到，推出，，得到，再由作差法，即可得出结论成立；
（2）先由（1）得到，分别讨论和两种情况，构造适当的函数，求出取值范围，即可得出结果.
【详解】（1）证明：由题设，对任意的，恒有，
即恒成立，所以，即.
于是；且，因此.
故当时，有，
即当时，；
（2）由（1）知，，
当时，有，
令，则，所以，
而函数的值域为，
因此，当时，的取值集合为；
当时，由（1）知，，.
此时或，，
从而恒成立。
综上，的最小值.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，熟记二次函数的性质，以及三个二次之间关系即可，属于常考题型.
