2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练24 平面向量的概念及线性运算

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练24 平面向量的概念及线性运算

课时规范练24　平面向量的概念及线性运算 基础巩固组 ‎1.下列关于平面向量的说法正确的是(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.零向量是唯一没有方向的向量 B.平面内的单位向量是唯一的 C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量 D.共线向量就是相等向量 ‎2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a‎|a|‎‎=‎b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|‎ ‎3.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)‎ A.AD=-‎1‎‎3‎AB‎+‎‎4‎‎3‎AC B.‎AD‎=‎1‎‎3‎AB-‎‎4‎‎3‎AC C.AD‎=‎4‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎AC D.‎AD‎=‎4‎‎3‎AB-‎‎1‎‎3‎AC ‎4.(2017北京丰台一模,理4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=‎1‎‎2‎AB,BF=‎2‎‎3‎BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.0 C.‎1‎‎2‎ D.1‎ ‎5.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　)‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎6.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则‎|BC|‎‎|AB|‎的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ ‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎7.在四边形ABCD中,O是四边形ABCD内一点,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a-b+c,则四边形ABCD的形状为(　　)‎ A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 ‎8.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=(　　)‎ A.a-‎1‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a-b C.a+‎1‎‎2‎b D.‎1‎‎2‎a+b〚导学号21500726〛‎ ‎9.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM‎=‎AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为　　　　　. ‎ ‎10.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC),则AB与AC的夹角为　　　　　. ‎ ‎11.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA‎+BP+‎CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为　　　　　. ‎ ‎12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎13.在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA‎|CA|‎‎+‎CB‎|CB|‎,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为(　　)‎ A.CD‎=‎‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b B.CD‎=‎‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎ C.CD‎=‎‎1‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b D.CD‎=‎‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0) B.(0,+∞)‎ C.(-1,0) D.(0,1)‎ ‎15.A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得OC=tOA+　　　　 OB.‎ ‎16.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎17.已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA‎+OB+‎OC=0,则下列结论正确的是(　　)‎ A.‎OA‎=‎1‎‎3‎AB+‎‎2‎‎3‎BC B.‎OA‎=‎2‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎BC C.‎OA‎=‎1‎‎3‎AB-‎‎2‎‎3‎BC D.OA=-‎‎2‎‎3‎AB‎-‎‎1‎‎3‎BC ‎18.(2017安徽马鞍山质检)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD‎=‎1‎‎4‎(AB+‎AC),AP‎=AD+‎‎1‎‎8‎BC,则△APD的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎3‎〚导学号21500727〛‎ 参考答案 课时规范练24　平面向量的 概念及线性运算 ‎1.C　对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.‎ ‎2.C　因为a‎|a|‎表示与a同向的单位向量,b‎|b|‎表示与b同向的单位向量,所以只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.‎ ‎3.A　AD‎=AB+BD=AB+BC+CD=AB+‎4‎‎3‎BC=AB+‎4‎‎3‎(AC-‎AB)=-‎1‎‎3‎AB‎+‎‎4‎‎3‎AC.故选A.‎ ‎4.C　如图,EF‎=EA+AC+‎CF=-‎1‎‎2‎AB‎+AC-‎‎1‎‎3‎BC=-‎1‎‎2‎AB‎+AC-‎1‎‎3‎(BA+‎AC)=-‎1‎‎6‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AC.‎ ‎∵EF=mAB+nAC,‎ ‎∴m=-‎1‎‎6‎,n=‎2‎‎3‎,‎ ‎∴m+n=‎1‎‎2‎.‎ 故选C.‎ ‎5.B　∵BC=a+b,CD=a-2b,‎ ‎∴BD‎=BC+‎CD=2a-b.‎ 又A,B,D三点共线,‎ ‎∴AB‎,‎BD共线.‎ 设AB=λBD,‎ 则2a+pb=λ(2a-b).‎ 即2=2λ,p=-λ.‎ 解得λ=1,p=-1.‎ ‎6.A　由OA+2OC=3OB,得OA‎-‎OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以‎|BC|‎‎|AB|‎‎=‎‎1‎‎2‎.故选A.‎ ‎7.C　因为OD=a-b+c,所以AD‎=OD-‎OA=c-b.‎ 又BC‎=OC-‎OB=c-b,‎ 所以AD‎∥‎BC且|AD|=|BC|,‎ 所以四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎8.D　连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB,且CD‎=‎1‎‎2‎AB=‎‎1‎‎2‎a,所以AD‎=AC+‎CD=b+‎1‎‎2‎a.‎ ‎9.‎3‎‎5‎　如图,设AB的中点为D.‎ 由5AM‎=‎AB+3AC,‎ 得3AM-3AC=2AD-2AM,‎ 即3CM=2MD,‎ 故C,M,D三点共线,且MD‎=‎‎3‎‎5‎CD,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,故△ABM与△ABC的面积比为‎3‎‎5‎.‎ ‎10.90°　由AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC的夹角为90°.‎ ‎11.-2　如图,由AP=λPD,且PA‎+BP+‎CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,故λ=-2.‎ ‎12.1　如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA‎+‎ED=0,BF‎+‎CF=0.‎ 又因为AB‎+BF+FE+‎EA=0,‎ 所以EF‎=AB+BF+‎EA.①‎ 同理EF‎=ED+DC+‎CF.②‎ 由①+②,得2EF‎=AB+‎DC+(EA‎+‎ED)+(BF‎+‎CF)=AB‎+‎DC,所以EF‎=‎1‎‎2‎(AB+‎DC),‎ 所以λ=‎1‎‎2‎,μ=‎1‎‎2‎.所以λ+μ=1.‎ ‎13.A　由题意,得CD是∠ACB的平分线,‎ 则CD‎=CA+AD=CA+‎2‎‎3‎AB=CA+‎2‎‎3‎(CB-‎CA)‎ ‎=‎2‎‎3‎CB‎+‎1‎‎3‎CA=‎‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b,故选A.‎ ‎14.A　设BO=λBC(λ>1),‎ 则AO‎=AB+BO=‎AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,‎ 所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.‎ 所以λ=1-x>1,解得x<0.‎ ‎15.(1-t)　根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得BC=tBA,即OC‎-‎OB=t(OA‎-‎OB),即OC=tOA+(1-t)OB.‎ ‎16.0　因为a+b与c共线,‎ 所以a+b=λ1c.①‎ 又因为b+c与a共线,‎ 所以b+c=λ2a.②‎ 由①得b=λ1c-a.‎ 所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,‎ 所以λ‎1‎‎+1=0,‎λ‎2‎‎=-1,‎即λ‎1‎‎=-1,‎λ‎2‎‎=-1.‎ 所以a+b+c=-c+c=0.‎ ‎17.D　∵OA‎+OB+‎OC=0,‎ ‎∴O为△ABC的重心,‎ ‎∴OA=-‎2‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎(AB+‎AC)=-‎1‎‎3‎‎(AB+‎AC)=-‎1‎‎3‎‎(AB+AB+‎BC)=-‎1‎‎3‎(2AB‎+‎BC)=-‎2‎‎3‎AB‎-‎‎1‎‎3‎BC,故选D.‎ ‎18.A　取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,AE‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC).‎ 又AD‎=‎1‎‎4‎(AB+‎AC),所以点D是AE的中点,AD=‎3‎.取AF‎=‎‎1‎‎8‎BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP‎=AD+‎1‎‎8‎BC=AD+‎AF.因为△APD是直角三角形,AF=‎1‎‎2‎,所以△APD的面积为‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎×‎3‎=‎‎3‎‎4‎.‎