2013年高考数学（文科）真题分类汇编C单元 三角函数
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数
14．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，π，则tan 2α的值是________．
14. [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，所以tan 2α＝＝＝.
方法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，所以tan 2α＝tan ＝.
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
2．C2[2013·全国卷] 已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
2．A [解析] cos α＝－＝－.
16．C2，C5[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
16．解：
14．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，π，则tan 2α的值是________．
14. [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，所以tan 2α＝＝＝.
方法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，所以tan 2α＝tan ＝.
C3 三角函数的图像与性质
1．C3[2013·江苏卷] 函数y＝3sin的最小正周期为________．
1．π [解析] 周期为T＝＝π.
17．C3[2013·辽宁卷] 设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
17．解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1.
及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1.
又x∈0，，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin2x－＋，当x＝∈0，时，sin2x－取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
9．C3[2013·山东卷] 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为( )
图1－3
9．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B，当x＝，y＝1>0，x＝π，y＝－π<0，故选D.
16．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
16．－ [解析] f(x)＝sin x－2cos x＝
，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，
即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－.
C4 函数 的图象与性质
16．C4[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．
16．解：(1)因为f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sinx＋，
所以当x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－.
此时x的取值集合为xx＝2kπ－，k∈Z.
(2)先将y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sin x的图像；再将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图像．
15．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2 x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2x·sin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈.
所以4α＋＝.故α＝.
9．C4[2013·全国卷] 若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )
图1－1
A．5 B．4
C．3 D．2
9．B [解析] 根据对称性可得为已知函数的半个周期，所以＝2×，解得ω＝4.
9．C4[2013·福建卷] 将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B.
C. D.
9．B [解析] g(x)＝f(x－φ)＝sin[2(x－φ)＋θ]，由sin θ＝，－<θ<，得θ＝，又sin(θ－2φ)＝，结合选项，知φ的一个值为，故选B.
6．C4[2013·湖北卷] 将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
6．B [解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.
13．C4[2013·江西卷] 设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
13．a≥2 [解析] |f(x)|max＝2，则a≥2.
16．C4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
16. [解析] 由已知，y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移得到y＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)．y＝sin＝－cos＝－cos，两个函数图像重合，故φ＝π.
18．C4，C7[2013·山东卷] 设函数f(x)＝－sin2 ωx－sin ωx cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间π，上的最大值和最小值．
18．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又ω＞0，
所以＝4×.
因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
6．C4[2013·天津卷] 函数f(x)＝sin2x－在区间0，上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
6．B [解析] ∵x∈，∴2x－∈，当2x－＝－时，f(x)有最小值－.
图1－3
6．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
6．A [解析] 由半周期＝－＝，可知周期T＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x＝时，f＝2，即sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.
16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
16．解： f(x)＝·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin .
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝π，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.
6．C4[2013·浙江卷] 函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
6．A [解析] f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin2x＋，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
15．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2 x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2x·sin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈.
所以4α＋＝.故α＝.
16．C2，C5[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
16．解：
3．C5[2013·江西卷] 若sin＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
3．C [解析] cos α＝1－2sin2 ＝，故选C.
17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
又0
b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有
(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
16．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
16．－ [解析] f(x)＝sin x－2cos x＝
，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，
即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－.
18．C5和C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
18．解：(1)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
又因为00)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间π，上的最大值和最小值．
18．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又ω＞0，
所以＝4×.
因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
16．C7，C8[2013·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin2B－的值．
16．解：(1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.
由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B＝.
所以sin2B－＝sin 2Bcos－cos 2Bsin＝.
C8 解三角形
9．C8[2013·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝( )
A. B.
C. D.
9．B [解析] 根据正弦定理，3sin A＝5sin B可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－，所以C＝.
5．C8[2013·北京卷] 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A. B.
C. D．1
5．B [解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.
18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos (A－C)
＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sinAsin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
21．C8，C9[2013·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2 ，点M在线段PQ上．
(1)若OM＝，求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
图1－6
21．解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2 ，
由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2OP·MP·cos 45°，得MP2－4MP＋3＝0，
解得MP＝1或MP＝3.
(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理，得＝，
所以OM＝，同理ON＝.
故S△OMN＝OM·ON·sin∠MON
＝×
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 .
18．C8[2013·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A
－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5 ，b＝5，求sinB sin C的值．
18．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5 ，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A＝sin2A＝×＝.
5．C8[2013·湖南卷] 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
5．A [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B＝sin B．又sin B≠0，所以sin A＝.因为A为锐角，故A＝，选A.
17．C8[2013·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求的值．
17．解：(1)证明：由题意得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2 B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，所以＝.
6．C8[2013·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则∠B＝( )
A. B.
C. D.
6．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B
，所以可以得到sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝sin B＝，则∠B＝，故选A.
4．C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2 ＋2 B.＋1
C．2 －2 D.－1
4．B [解析] ＝c＝2 .又A＋B＋C＝π，
∴A＝π，
∴△ABC的面积为×2×2 ×sin＝2×＝＋1.
7．C8[2013·山东卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2 C. D．1
7．B [解析] 由正弦定理＝，即＝＝，解之得cosA＝，∴A＝，B＝，C＝，∴c＝＝＝2.
9．C8[2013·陕西卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
9．A [解析] 结合已知bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，即sin (B＋C)＝sin 2Asin A＝sin 2Asin A＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．
16．C7，C8[2013·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin2B－的值．
16．解：(1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.
由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B＝.
所以sin2B－＝sin 2Bcos－cos 2Bsin＝.
17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
又0b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有
(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
15．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
15．(2，4) [解析] 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．
10．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2 A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
10．D [解析] 由23cos 2A＋cos 2A＝0，得25cos 2A＝1.因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝.在△ABC中，根据余弦定理，得49＝b2＋36－12b×，即b2－b－13＝0，解得b＝5或－(舍去)．
18．C8[2013·浙江卷] 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B＝ b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
18．解：(1)由2asin B＝ b及正弦定理＝，得
sin A＝.因为A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A 得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsin A，得△ABC的面积为.
18．C5和C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
18．解：(1)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
又因为0β，所以α＝，β＝.
16．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
16．－ [解析] f(x)＝sin x－2cos x＝
，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，
即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－.
9．C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的图像大致为( )
图1－2
9．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，
得f′(x)＝sin xsin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2 x＋cos x＋1＝－(cos x－1)(2cos x＋1)，当00，若
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