河北省衡水中学2020届高三下学期三模数学（文）试题 Word版含解析

河北省衡水中学2020届高三下学期三模数学（文）试题 Word版含解析

‎2019—2020学年度第二学期高三年级三模考试 数学（文科）试卷 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式得，再求函数的值域得，再求集合交集运算即可.‎ ‎【详解】解：解分式不等式得，故，‎ 再求函数的值域得，故.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题.‎ ‎2.若且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得到，化简得到，根据其几何意义计算得到答案.‎ ‎【详解】设，则，‎ - 24 -‎ 即，表示圆心为，半径为的圆.‎ ‎，表示点和之间的距离，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎3.已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m//n的一个必要但不充分条件是（ ）‎ A. m//α，n//α B. m⊥α，n⊥α C. m//α，n⊂α D. m、n与α所成的角相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案.‎ ‎【详解】解：A：m、n可以都和平面垂直，不必要 ；‎ B：m、n可以都和平面平行，不必要 ；‎ C：n没理由一定要在平面内，不必要 ；‎ D：由m∥n⇒m，n与α所成的角相等，反之，m，n与α所成的角相等不一定推出m∥n.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用.‎ ‎4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）‎ A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 - 24 -‎ C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．‎ ‎【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为：‎ ‎10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；‎ 其中位数是，且数据分布比较分散；‎ 乙组数据从小到大排列为：‎ ‎17，20，21，23，24，26，31，31，32，35；‎ 其中位数是，且数据分布比较集中；‎ 所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题．‎ ‎5.已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再由两边平方可得，代入公式可得答案.‎ ‎【详解】由，得，可得，即.‎ 由，可得，即 - 24 -‎ 整理得 故选：B ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎6.已知的图像关于原点对称，且当时，（其中是的导函数），，，则下列关系式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由得，即当时，单调递减；又函数的图像关于原点对称，所以是偶函数，且当时，单调递增；，∴，因此．‎ 考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性．‎ ‎【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，判断单调性是本题的关键．‎ ‎7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且．若角 - 24 -‎ 的终边上有一点，其纵坐标为，有下列三个结论：①点的横坐标是6；②；③．则上述结论中，正确的个数为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．‎ ‎【详解】解：已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，‎ 若角的终边上有一点，其纵坐标为，即设为，且．所以角是第三象限的角，‎ 下列三个结论：‎ ‎①角的终边上有一点，其纵坐标为，即，．解得，所以点的横坐标是，①错误；‎ ‎②，且．所以角是第三象限的角，由，；②错误；‎ ‎③，由②可知道；；．所以角是第三象限的角，．所以，所以③正确；‎ 则上述结论中，正确的个数为1个，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70‎ - 24 -‎ 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ）‎ A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，硕士 C. 国防大学，学士 D. 军事科学院，学士 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给个知道的条件，判断出甲的院校和学位.‎ ‎【详解】由①③可知，丙是军事科学院的.‎ 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.‎ 进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.‎ 所以甲来自国防大学，学位是博士.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.‎ ‎9.已知方程的两根分别为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的图象，初步判断的范围，再根据对数运算即可得出答案.‎ ‎【详解】不妨设，作出与的图象，如图.‎ ‎ ‎ 由图可知，‎ - 24 -‎ 则，，‎ 那么，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.‎ ‎10.如图所示，四边形是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方形的边长为1，圆的半径为r，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r，‎ 因为圆心都在正方形的对角线上，‎ 如图所示：‎ - 24 -‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以阴影部分的面积为：，‎ 所以该点取自阴影部分的概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎11.三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用数形结合，依据题意，点在底面的投影为的中心时，三棱锥S-ABC的体积最大，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】设点到底面的距离为，则 当三棱锥S-ABC的体积最大时，即最大 由题可知：为边长为3的等边三角形，‎ 则点在底面的投影为的中心，且底面 - 24 -‎ 如图所示 又，所以 又，所以 所以 故选：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点在底面的投影为的中心时，三棱锥S-ABC的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题.‎ ‎12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，当的周长最短时，b的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理可得，计算周长可得，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：，‎ 则，‎ - 24 -‎ 所以，‎ 又，所以，记的周长为 则 则 当且仅当或（舍）取等号 所以当的周长最短时，b的值为 故选：C ‎【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13.设满足约束条件，则的最小值是____________.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件画出可行域,再变形为,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.‎ ‎【详解】由题,可行域如图所示,‎ - 24 -‎ 设,平移直线,当直线与点相交时,直线的截距最大,‎ 所以的最小值为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.‎ ‎14.______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的正切公式进行化简求值.‎ ‎【详解】由于，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题.‎ ‎15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．‎ - 24 -‎ 经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．‎ 解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），‎ ‎（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，‎ ‎∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，‎ ‎∴x2+x﹣1=0，‎ 解得，‎ ‎∵0＜x＜1，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．‎ ‎16.已知函数，，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常用不等式，可转化为，然后使用分离参数，并构造函数，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果.‎ ‎【详解】令，‎ 则，当时，‎ 所以在单调递增，所以 - 24 -‎ 所以 由，所以当时，‎ 故若，使 转化为，‎ 则，即 令，‎ 若时，，若时，‎ 所以函数在递增，在递减 所以 所以，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如，属中档题.‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 ‎17.已知数列中，，当时，‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（Ⅰ）两边同时除以得：，即可得证;‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，再利用裂项相消法求和即可得证；‎ ‎【详解】解:（Ⅰ）证明：当时，由，‎ 两边同时除以得：，‎ 由，得，‎ 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ 因为，故.‎ ‎【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.‎ ‎18.已知四边形是梯形(如图1)，，，，，E为的中点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且.‎ - 24 -‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点M，连接，，，根据，易得，再利用平面几何知识，由，得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，进而由面面垂直的判定定理得证. ‎ ‎（2）由（1）知，平面，为正三角形且边长为1， 设点C到平面的距离为d，由等体积法求解.‎ 详解】（1）证明：连接，‎ 因为，，，E为的中点，，‎ 所以四边形是边长为1的正方形，且.‎ 如图，取的中点M，连接，，，‎ 因为，‎ 所以，且，. ‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以 - 24 -‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎ 因为，‎ 所以平面.‎ ‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ‎ ‎（2）由（1）知，平面，，且. ‎ 因为，‎ 所以为正三角形且边长为1. ‎ 设点C到平面的距离为d，‎ 则，‎ 所以， ‎ 即，‎ 解得.‎ ‎ 所以点C到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：‎ - 24 -‎ ‎（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：‎ 序号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 锻炼时长m（单位：分钟）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？‎ 附；在线性回归方程中，，．‎ ‎【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；‎ ‎（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）根据线性回归方程，令，求出预测值，再验证是否满足，即可判断．‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1），‎ ‎． ‎ ‎（分钟）． ‎ ‎（2）（Ⅰ），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，， ‎ 关于n线性回归方程为． ‎ ‎（Ⅱ）当时，．‎ ‎，‎ 估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．‎ ‎20.已知椭圆和圆，、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与椭圆和圆都相切，切点分别为、，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据已知条件求得和的值，由此可得出椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，并求出点的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线的方程为，与直线的方程联立可求得点的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可知．①‎ 设，则由与圆相切时，得，即．②‎ 将①②代入，解得，所以椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点、，‎ 将代入得．‎ 由直线与椭圆相切得，即，且，‎ 由直线与圆相切，设，与联立得，‎ 设直线与轴交于点，则．‎ - 24 -‎ 所以的面积为，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以的面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.‎ ‎21.已知函数，且曲线在点处的切线为x轴．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值，并讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证，其中e为自然对数的底数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；在上单调递减；在上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，得到，解方程组，求得，从而求得，从而求得函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即对任意成立．之后应用分析法证明即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 由题意知；，‎ 令，解得，‎ 当时，，即在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 即对任意成立．‎ 要证，只需证．‎ 在不等式中，‎ 令，则有，‎ 即，即成立；‎ 要证，只需证，‎ 即证，只需证，‎ 即证．‎ - 24 -‎ 在不等式中，令，‎ 则有，即成立 综上，不等式成立．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目.‎ ‎（二）选考题 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求与的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出与的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线的直角坐标方程化为参数方程，点在直线上，利用参数的几何意义，可得的值.‎ ‎【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以其直角坐标方程为，‎ ‎∵直线的极坐标方程为，‎ - 24 -‎ ‎∴，‎ ‎∴其直角坐标方程为；‎ ‎（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），‎ 代入曲线的方程，得，‎ 则，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.‎ ‎23. ‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；‎ ‎（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥，利用绝对值三角不等式处理即可.‎ 详解：（1）当时，‎ 的解集为： ‎ - 24 -‎ ‎（2）由得：‎ 由，得：‎ 得（当且仅当或时等号成立），‎ 故的最小值为.‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ - 24 -‎