数学卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河北省衡水中学高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）‎ ‎6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n ‎7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．以下有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”‎ B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题 D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0‎ ‎11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x ‎12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　　…‎ ‎14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　　．‎ ‎16．给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）求甲班的平均分；‎ ‎（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．‎ ‎18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求a值及这100名考生的平均成绩；‎ ‎（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．‎ ‎19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．‎ ‎22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．‎ ‎【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，‎ ‎∴a＜b成立，‎ 由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，‎ 所以根据充分必要条件的定义可的判断：‎ a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．‎ ‎　‎ ‎2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）•（1+c，‎ ‎）=0，求出c，即可求出b．‎ ‎【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，‎ ‎∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，‎ ‎∴1﹣c2+2=0，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵a=，‎ ‎∴b=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．‎ ‎　‎ ‎3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的离心率是，‎ ‎∴e==，即==1+（）2=，‎ 即（）2=﹣1=，则=，‎ 即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据双曲线离心率的关系进行求解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．‎ ‎【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．‎ 对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．‎ ‎∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．‎ ‎【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），‎ 点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，‎ ‎∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．‎ ‎【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 由得，y2﹣2py﹣p2=0；‎ ‎∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；‎ ‎∴弦AB的中点坐标为；‎ 弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）‎ 的左焦点为F，右顶点为A，‎ 则A（a，0），F（﹣c，0），‎ ‎∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，‎ ‎∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）‎ ‎∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），‎ 将B（m，n）代入抛物线方程得，‎ n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），‎ ‎∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得， +=1，‎ 化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由椭圆的性质可知：‎ AB=2c，AC=AB=a，OC=b，‎ SABC=AB•OC=•2c•b=bc，‎ SABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，‎ ‎∴=bc，a=2c，‎ 由e==，‎ 故答案选：C．‎ ‎【点评】本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．以下有关命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”‎ B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题 D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．‎ ‎【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断 B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断 C．根据四种命题真假之间的关系进行判断 D．根据含有量词的命题的否定进行判断 ‎【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，‎ B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确 C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，‎ 若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C判断错误．‎ D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的真假关系，充分条件和必要条件的判断以及含有量词的命题的否定，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0）得到|AF|=x0+，表示出x0，y0，代入到抛物线的解析式，求出p的值，需要验证 ‎【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，‎ 双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，‎ 由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，‎ 不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），‎ ‎∴|AF|=x0+，‎ ‎∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，‎ ‎∴x0=2﹣，x0＞，‎ ‎∴0＜p＜2‎ ‎∴y0=（2﹣p），‎ ‎∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），‎ 整理得p2﹣4p+3=0，‎ 解的p=1或p=3（舍去），‎ 故抛物线的方程为y2=2x，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），‎ 联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），‎ 又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，‎ 化简得7a2=3c2，求得e=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．‎ ‎　‎ 二、填空题（2014•湖南模拟）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是　　…‎ ‎【考点】特称命题；复合命题的真假．‎ ‎【分析】由于命题P：“”为假命题，可得￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵命题P：“”为假命题，‎ ‎∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．‎ ‎∴实数m的取值范围是[2，6]．‎ 故答案为：[2，6]．‎ ‎【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可设F（c，0），代入直线x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（c，0），‎ 代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：‎ c﹣2b=0，即c=2b，‎ 即有a===b，‎ 可得双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用直线经过双曲线的焦点，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．‎ ‎【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知 AA1=3m，BB1=m ‎∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，‎ 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0‎ 所以AB中点到准线距离为 故答案为 ‎【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．‎ ‎　‎ ‎16．给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　（1）（3）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，即可得出曲线C的焦点坐标；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由于∠F1MF2=90°，可得， mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得xA，即可判断出；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣xA=8，解得xA=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．‎ 综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016秋•桃城区校级期中）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）求甲班的平均分；‎ ‎（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分．‎ ‎（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率．‎ ‎【解答】解：（1）甲班的平均分为：‎ ‎；‎ ‎（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，‎ 从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：‎ ‎（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），‎ ‎（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，‎ 设事件M=“至少含有甲班一名同学”，‎ 则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，‎ 所以事件M的概率为．‎ ‎【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•内江模拟）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求a值及这100名考生的平均成绩；‎ ‎（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）根据频率之和为1，即可求出a的值，再根据平均数的定义即可求出．‎ ‎（2）根据分层抽样，即可求出各组的人数，分别记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，‎ 得a=0.03．‎ 平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．‎ ‎（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，‎ 按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1‎ 记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，‎ 则抽取3人的所有情形为：‎ ‎（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），‎ ‎（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），‎ ‎（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），‎ ‎（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种 第4组中恰有1人的情形有12种 ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015秋•石家庄期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即•=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求实数m的值．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，‎ ‎∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，‎ ‎∴+p=（+）2，‎ ‎∴p=2‎ 抛物线的方程为：y2=4x．…‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，‎ ‎∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0‎ 可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0‎ ‎∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0‎ ‎∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，‎ 解得：m=±．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•山西模拟）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（I）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；‎ ‎（II）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．‎ ‎【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．‎ 设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．‎ 联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．‎ ‎∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．‎ ‎∵=+=2，∴M为EP的中点．‎ ‎∴，∴，即y2=4x﹣12．‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．‎ ‎（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．‎ ‎∴|AB|===4（m2+1）．‎ E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，‎ ‎∴S△ABE=•|AB|•d=4，‎ ‎∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．‎ ‎∴当m=0时，S取得最小值8．‎ 此时直线l的方程为x﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的性质，轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•晋中模拟）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设点M（x，y），通过KAM•KBM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．‎ ‎（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR，求解最值．‎ ‎【解答】解：（1）设点M（x，y），‎ ‎∵KAM•KBM=﹣，‎ ‎∴，‎ 整理得点所在的曲线C的方程：．‎ ‎（2）由题意可得点，‎ 直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，‎ 与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，‎ 由于x=1是方程的一个解，‎ 所以方程的另一解为，同理，‎ 故直线RQ的斜率为，‎ 把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，‎ 所以|PQ|==‎ 原点O到直线RQ的距离为，‎ S△OQR==≤=．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•唐山期末）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，由椭圆的定义可得所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式，两点的距离公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞‎ ‎4，‎ 根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 即有a=2，c=2，b=2，‎ 则动点P的轨迹C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，‎ 整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，‎ 由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，‎ 根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，‎ 那么|MN|==•‎ ‎=，‎ y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，‎ 线段MN中点H的坐标为（，），‎ 那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），‎ 令y=0，得D（，0），‎ ‎|DH|==，‎ 则=•=•，‎ 由k≠0，可得1+∈（1，+∞），‎ 于是∈（0，）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，中点坐标公式以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎