高中数学必修3教案：2_2用样本估计总体（四）

高中数学必修3教案：2_2用样本估计总体（四）

‎2.2用样本估计总体（四） 知识回顾 ‎1.如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？ ‎(1)众数：最高矩形下端中点的横坐标. ‎(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标. ‎(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. ‎2. 对于样本数据x1，x2，…，xn，其标准差如何计算？ 知识补充 ‎1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差. ‎2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性. ‎3.对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数 ，标准差s＝0.868.在这100个数据中，落在区间 ＝[1.105，2.841]外的有28个；落在区间＝[0.237，3.709]外的只有4个；落在区间 ＝[－0.631，4.577]外的有0个. 一般地，对于一个正态总体，数据落在区间 、 、 内的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材P79“阅 读与思考”）. 例题分析 例1 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点. ‎(1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； ‎(2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6； ‎(3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； ‎(4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8. 例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)： 甲 ： ‎25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙： ‎25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？ ‎ ‎ ‎ 甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高. ‎ 说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.‎ ‎ 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.‎ 例3 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？‎ 要点：‎ ‎ (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考；‎ ‎ (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.‎ 练习 ‎5、（宁夏理11文12）．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 乙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 丙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　B　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 课堂小结 ‎1.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.‎ ‎2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性. ‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一 种统计思想，没有惟一答案.‎ ‎3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.‎