高中数学必修3教案：2_2_1用样本的频率分布估计总体分布

高中数学必修3教案：2_2_1用样本的频率分布估计总体分布

‎§2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 ‎ 学习目标 ‎ ‎（1） 通过实例体会分布的意义和作用。‎ ‎（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。‎ ‎（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。‎ ‎ 重点难点 ‎ 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。‎ 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布 ‎ 学法指导 ‎ 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。‎ ‎ 知识链接 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样常用方法及其操作步骤。‎ ‎ 问题探究 一、情景设置：‎ ‎ 在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕‎ ‎ 甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50‎ ‎ 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33‎ ‎ 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？‎ ‎ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布。‎ 二、探究新知： ‎ 知识探究（一）：频率分布表 问题：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：‎ 分 组 频数累计 ‎ 频数 频率 ‎ [0，0.5）‎ ‎ [0.5，1）‎ ‎ [1，1.5）‎ ‎[1.5，2）‎ ‎[2，2.5）‎ ‎ [2.5，3）‎ ‎ [3，3.5）‎ ‎ [3.5，4）‎ ‎ [4，4.5]‎ ‎ 合计 ‎ ‎3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6‎ ‎3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4‎ ‎3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8‎ ‎3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1‎ ‎3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3‎ ‎3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0‎ ‎2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3‎ ‎2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4‎ ‎2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4‎ ‎2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2‎ 思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？‎ 思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？‎ 思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？‎ 思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？‎ ‎ ‎ 思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？‎ 思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？‎ 思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？‎ 思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？‎ 思考9：当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？‎ 思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？‎ 知识探究（二）：频率分布直方图 ‎ 为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的频率分布直方图(参考课本67页图2.2-1)表示。‎ 思考1：频率分布直方图中各小长方形的和高度在数量上有何特点？‎ 思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？‎ 思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？‎ 思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？‎ 思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，请你以0.1和1为组距画频率分布直方图，然后谈谈你对图的印象？‎ 例 某地区为了了解知识分子的年龄结构，‎ 随机抽样50名，其年龄分别如下：‎ ‎ 42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，‎ ‎ 40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，‎ ‎ 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，‎ ‎ 42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，‎ ‎ 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.‎ ‎(1)列出样本频率分布表； ‎ ‎(2)画出频率分布直方图；‎ ‎(3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例约是多少.‎ 探究（三）：频率分布折线图与总体密度曲线 思考1：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各组数据的平均值大致是哪些数？‎ 思考2：在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图. 你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？(参考课本69页图2.2-2,并在学案上画出此图) ‎ 思考3：当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量的增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？（参考课本69页图2.2-3）‎ 思考4：在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部分的面积有何实际意义？‎ ‎ ‎ 思考5：当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时，是否存在总体密度曲线？为什么？ ‎ 思考6：对于一个总体，如果存在总体密度曲线，这条曲线是否惟一？能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？‎ 探究（四）：茎叶图 频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情况，此外，我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况. ‎ ‎【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：‎ ‎ 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；‎ ‎ 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.‎ 助教在比赛中将这些数据记录为如下形式：‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1‎ ‎012345‎ ‎2 5‎ ‎5 4 1 6 1 6 7 9 4 9 0‎ 思考1：你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？ ‎ 思考2：在统计中，上图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，其中“茎”指的是哪些数，“叶”指的是哪些数？‎ 思考3：对于样本数据：3.1，2.5,2.0，0.8，1.5，1.0，4.3，2.7，3.1，3.5，用茎叶图如何表示？ ‎ 叶 思考4：一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？‎ 思考5：用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优点？‎ 思考6：比较茎叶图和频率分布表，茎叶图中“茎”和“叶”的数目分别与频率分布表中哪些数目相当？‎ 思考7：对任意一组样本数据，是否都适合用茎叶图表示？为什么？‎ ‎ ‎