【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 ‎1、某校有、、、四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.‎ 甲说：“、同时获奖.”‎ 乙说：“、不可能同时获奖.”‎ 丙说：“获奖.”‎ 丁说：“、至少一件获奖”‎ 如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）‎ A．作品与作品 B．作品与作品 C．作品与作品 D．作品与作品 ‎2、如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确个数的有（ ）‎ ‎（1） （2）190是数列中的项 ‎（3） （4）当时，取最小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4、杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1.记作数列，若数列的前项和为，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )‎ A．4072 B．2026 C．4096 D．2048‎ ‎6、杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7、,, ,,设,则下列判断中正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8、观察下列各式：‎ 照此规律，当时，______.‎ ‎9、观察下列各式：‎ ‎ ‎ 照此规律，则第个等式应为_______.‎ ‎10、某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：‎ ‎（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；‎ ‎（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；‎ ‎（iii）禁止同时关闭5号和1号.‎ 现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．‎ ‎11、某次比赛结束后，记者询问进入决赛的甲、乙、丙、丁四名运动员最终冠军的获得者是谁，甲说：我没有获得冠军；乙说：丁获得了冠军；丙说：乙获得了冠军；丁说：我没有获得冠军，这时裁判过来说：他们四个人中只有一个人说的是假话，则获得冠军的是_________‎ ‎12、已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分．‎ 求，的值；‎ 猜想的表达式并证明；‎ 证明：．‎ ‎13、在数列中，已知，为常数.‎ ‎(1)证明:成等差数列;‎ ‎(2)设，求数列的前n项和；‎ ‎(3)当时，数列中是否存在不同的三项成等比数列，‎ 且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎14、已知数列中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎15、若a,b,c均为实数，，，‎ 求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ 参考答案 ‎1、答案：D 根据条件可判断出乙丁预测正确，而甲丙预测错误，这样根据这四位同学的预测即可得出获奖的作品．‎ ‎【详解】‎ 乙，丁预测的是正确的，甲，丙预测的是错误的；‎ 丙预测错误，∴C不获奖；‎ 丁预测正确，A，C至少一件获奖，∴A获奖；‎ 甲预测错误，即A，B不同时获奖，∴B不获奖；‎ ‎∴D获奖；‎ 即获奖的作品是作品A与作品D．‎ 故选：D．‎ ‎2、答案：A 由题意得 ，选A.‎ ‎3、答案：C 先求得的结果，归纳推理得到个数的表达，即的值，由此对四个结论逐一分析，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，，故.当时，，，，，故.当时，，，，故，共有个数，即，故（1）结论正确.以此类推，当，时，，，故可以取的个数为，即，当时上式也符合，所以；令，得，没有整数解，故（2）错误. ，所以，故，所以（3）判断正确.，，当时，当时，故当时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C.‎ ‎4、答案：B 数列{an}中前78项在杨辉三角的从第一排到第12排，每排的和为二项式系数和, {an}中最后两项是第13排的1和12.全部相加可得结果.‎ ‎【详解】‎ 杨辉三角中前12行共有1+2+3+4++12＝78个数，其和为：20+21+22++211＝212﹣1＝4095；‎ 第13行共有2个位数，它们是1，12，其和为13，‎ 故＝4095+13＝4108，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查合情推理，二项式系数和，数列求和，每一排的和转化为二项式系数和是关键，属中档题．‎ ‎5、答案：A 利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，‎ 则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，‎ 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，‎ 则Tn，‎ 可得当n＝10，所有项的个数和为55，‎ 则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，‎ 则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，‎ 故选：A．‎ ‎6、答案：A 利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，‎ 例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，‎ 第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，‎ 则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，‎ 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，‎ 则Tn，‎ 可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，‎ 由于最右侧为2，3，4，5，…，为首项是2公差为1的等差数列，‎ 则第16行的第16项为17，‎ 则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，‎ 则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，‎ 故选：A．‎ ‎7、答案：B a、b、c、d∈R＋，‎ ‎ ‎ 考点：放缩法 ‎8、答案： ‎ 左边为几个连续整数的平方的和的形式，右边是积的形式，观察归纳规律，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 第一个式子: ;‎ 第二个式子： ；‎ 第三个式子： ；‎ 第四个式子： ；‎ 第n个式子：‎ 故填：.‎ ‎9、答案：‎ 左边为几个连续整数的立方的和的形式，右边是数的平方形式，观察归纳得出右边式子底数的通式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 第1个式子右边底数为1，‎ 第2个式子右边底数为3=1+2= ，‎ 第3个式子右边底数为6=1+2+3= ，‎ 归纳可得：第n个式子右边底数为1+2+3++n=‎ 故第个等式为 故填：‎ ‎【点评】‎ 本题考查了归纳推理的运用，属于数的归纳，此类题目通常既要观察式或数与序号之间的关系，还要联系相关知识，比如等差数列等.‎ ‎10、答案：4号5号 ‎3，4同时开启，且关闭1，2号， 又1，5不能同时关闭，则5开启。‎ ‎【详解】‎ 开启3号，则必须开启4号，同时关闭2号。‎ 因为4号开启，所以1号必须关闭。‎ 因为禁止同时关闭1号和5号，此时1号关闭，则5号必然开启，所以另外开启的两个阀门是4号和5号。‎ ‎11、答案：乙 分别假设甲、丙、丁获得冠军，可得到多于一个人说假话，可排除甲、丙、丁，验证若乙为冠军,符合题意.‎ ‎【详解】‎ 若获得冠军是甲，则甲、乙、丙三人同时回答错误， 丁回答正确，不满足题意；‎ 若获得冠军是乙，则甲、丙、丁回答正确，乙回答错误，满足题意；‎ 若获得冠军是丙，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；‎ 若获得冠军是丁，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，‎ 综上，获得冠军是乙，故答案为乙.‎ ‎12、答案：（1）8，14；（2），证明见解析；（3）证明见解析 试题分析：由题意可知：，;猜想并用数学归纳法证明可得解;‎ 证明：讨论当或2或3时，，且 时，用数列单调性的证明方法定义法证明即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知有：，，‎ ‎，‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，结论成立；‎ 假设时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成个部分，‎ 那么当时，第个圆与前k个圆最多有2k个交点，即此第个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第个圆使平面增加了2k个区域，‎ 所以，‎ 综合得：即平面上n个圆最多可以将平面分成个部分，‎ 即命题得证 证明：当或2或3时，，‎ 即，‎ 且时，‎ 设，‎ 则，‎ 设，‎ 因为，所以，所以 所以时，数列是单调递减数列，所以，‎ 所以，‎ 综合得：．‎ 故不等式得证．‎ ‎13、答案：（1）详见解析，‎ ‎（2）当，当 ‎（3）不存在 试题分析：（1）判定三项成等差数列，基本方法为验证：分别求出，，，满足（2）将条件变形为，从而是以0为首项，公差为的等差数列，即，所以，，当，当（3）由（2）用累加法可求得，假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，，化简得，得．矛盾．‎ 试题（1）因为，‎ 所以，‎ 同理，，， ‎ 又因为，， ‎ 所以，‎ 故，，成等差数列． ‎ ‎（2）由，得，‎ 令，则，，‎ 所以是以0为首项，公差为的等差数列，‎ 所以， ‎ 即，‎ 所以，‎ 所以．‎ 当，‎ 当．‎ ‎（3）由（2）知，‎ 用累加法可求得，‎ 当时也适合，所以 假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，‎ 则，即， ‎ 因为成等比数列，所以，‎ 所以，‎ 化简得，联立，得．‎ 这与题设矛盾．‎ 故不存在三项成等比数列，且也成等比数列． ‎ 考点：叠加法数列通项 ‎14、答案：（1）（2）‎ 试题分析：【详解】‎ ‎(1)由知 令，则且 由 得.‎ ‎(2)由题意知 所以 两式相减得 设，再利用错位相减法求得 所以.‎ ‎15、答案：试题分析：用反证法，假设都小于或等于0，推出的值大于0,出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证.‎ ‎【详解】‎ ‎(反证法).证明：设a、b、c都小于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，‎ 而a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋‎ ‎＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋－6>0，‎ 与假设矛盾，即原命题成立