【数学】2021届一轮复习人教A版六招破解高考导数压轴题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版六招破解高考导数压轴题学案

破解高考导数压轴题的常见策略 纵观近十年高考数学课标全国卷，容易发现导数压轴题有如下特点：主要考查导数的几何意义，利用导 数研究函数的单调性、极值、最值，研究方程和不等式. 试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合， 对函数与方程的思想，分类与整合的思想等都进行深入的考查.下面介绍破解高考导数压轴题的六种策略. ‎ ‎1. 分类讨论 ‎ 分类讨论是高考数学解答题压轴题的常用方法，纵观 2018-2018 年高考数学课标全国卷解答题压轴题， 几乎每一道都有用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类，如何分类. ‎ 例 1已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；‎ ‎（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数.‎ 2. 分离参数 ‎ 讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过 变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数， 通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况，则往往显得非常简捷、有效． ‎ 例 2已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 ‎（Ⅰ）求，，，的值 ‎（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。‎ ‎3. 构造函数 ‎ 利用导数解决不等式问题是导数的一个非常重要的应用，其关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的 辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题.运用构造函数法来解题是培养学生创新意识的 手段之一. ‎ 例3设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ ‎4.合理放缩 ‎ 高考数学压轴题往往涉及函数不等式问题，由于高考命题基本上涉及超越函数，研究其单调区间时一般 涉及解超越不等式，难度非常高，往往陷入绝境.放缩法是解决函数不等式问题的一把利器，关键是如何合理 放缩.常见的一种放缩法是切线放缩法，曲线的切线为一次函数，高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧， 即除切点外，函数的图像在切线的上方或下方，利用这一特性，可以将参与函数放缩成一次函数.‎ ‎ 例 4设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ ‎5.虚设零点 ‎ 导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点——导函 数的零点，因为导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点.可以说， 抓住了导函数的零点，就抓住了原函数的要点.在高考导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解相对 比较复杂甚至无法求解的问题.此时，不必正面强求，只需要设出零点，充分利用其满足的关系式，谋求一种 整体的代换和过渡，再结合其他统计解决问题，这种方法即是“虚设零点”. ‎ 例 5(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．‎ 6. 多次求导 ‎ 高中函数压轴题一般需要求导，利用导函数的正负来判断原函数的增减.有些试题，当你一次求导后发现 得出的结果还存在未知的东西，导函数的正负没有清晰得表现出来时，就可以考虑二次求导甚至三次求导， 这个时候要非常细心，观察全局，不然做到后边很容易出错. ‎ 例 6设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．‎ 教师版 ‎1. 分类讨论 ‎ 分类讨论是高考数学解答题压轴题的常用方法，纵观 2018-2018 年高考数学课标全国卷解答题压轴题， 几乎每一道都有用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类，如何分类. ‎ 例 1（2018 年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理 21）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；‎ ‎（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数.‎ 解：（Ⅰ），若轴为曲线的切线，则切点满足，也就是且，解得，，因此，当时，轴为曲线的切线；‎ ‎（Ⅱ）当时，，函数没有零点；‎ 当时，若，则，，故是的零点；‎ 当时，，以下讨论在区间上的零点的个数.‎ 对于，因为，所以令可得，那么 ‎（i）当或时，没有零点（或），在区间上是单调函数，且，所以当时，在区间上有一个零点；当时，在区间上没有零点；‎ ‎（ii）当时，（）且（‎ ‎），所以为最小值点，且.‎ 显然，若，即时，在区间上没有零点；‎ 若，即时，在区间上有1个零点；‎ 若，即时，因为，所以若，在区间上有2个零点；若，在区间上有1个零点.‎ 综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.‎ 2. 分离参数 ‎ 讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过 变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数， 通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况，则往往显得非常简捷、有效． ‎ 例 2（2018 年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理 21）‎ 已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 ‎（Ⅰ）求，，，的值 ‎（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 设函数==（），‎ ‎==，‎ 有题设可得≥0，即，‎ 令=0得，=，=－2，‎ ‎（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(2)若，则=，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，‎ ‎∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，‎ ‎(3)若，则==＜0，‎ ‎∴当≥－2时，≤不可能恒成立，‎ 综上所述，的取值范围为[1,].‎ ‎3. 构造函数 ‎ 利用导数解决不等式问题是导数的一个非常重要的应用，其关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的 辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题.运用构造函数法来解题是培养学生创新意识的 手段之一. ‎ 例3（2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理21） ‎ 设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎4.合理放缩 ‎ 高考数学压轴题往往涉及函数不等式问题，由于高考命题基本上涉及超越函数，研究其单调区间时一般 涉及解超越不等式，难度非常高，往往陷入绝境.放缩法是解决函数不等式问题的一把利器，关键是如何合理 放缩.常见的一种放缩法是切线放缩法，曲线的切线为一次函数，高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧， 即除切点外，函数的图像在切线的上方或下方，利用这一特性，可以将参与函数放缩成一次函数. ‎ ‎ 例 4设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ ‎5.虚设零点 ‎ 导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点——导函 数的零点，因为导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点.可以说， 抓住了导函数的零点，就抓住了原函数的要点.在高考导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解相对 比较复杂甚至无法求解的问题.此时，不必正面强求，只需要设出零点，充分利用其满足的关系式，谋求一种 整体的代换和过渡，再结合其他统计解决问题，这种方法即是“虚设零点”. ‎ 例 5（2018 年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理 21） ‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最 小值为，求函数的值域．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 6. 多次求导 ‎ 高中函数压轴题一般需要求导，利用导函数的正负来判断原函数的增减.有些试题，当你一次求导后发现 得出的结果还存在未知的东西，导函数的正负没有清晰得表现出来时，就可以考虑二次求导甚至三次求导， 这个时候要非常细心，观察全局，不然做到后边很容易出错. ‎ 例 6（2018 年高考数学课标全国卷理 21） 设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．‎