2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练14+导数的概念及运算

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练14+导数的概念及运算

课时规范练14　导数的概念及运算 基础巩固组 ‎1.已知函数f(x)=‎3‎x+1,则limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ ‎ C.‎2‎‎3‎ D.0‎ ‎2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)等于(　　)‎ A.-e B.-1 ‎ C.1 D.e ‎3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是(　　)‎ A.x+y+1=0 ‎ B.x+y-1=0‎ C.3x-y-1=0 ‎ D.3x-y+1=0‎ ‎4.(2017江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)‎ A.1 B.‎2‎ ‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎ ‎5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)‎ A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3‎ ‎6.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)‎ A.-1 ‎ B.0 ‎ C.1 ‎ D.2‎ ‎7.若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A.y=sin x ‎ B.y=ln x ‎ C.y=ex ‎ D.y=x3‎ ‎8.(2017江西南昌联考)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(　　)‎ A.y=2x-1 ‎ B.y=x C.y=3x-2 ‎ D.y=-2x+3〚导学号21500714〛‎ ‎9.(2017吉林长春二模)若函数f(x)=lnxx,则f'(2)=　　　　　. ‎ ‎10.(2017山西太原模拟)函数f(x)=xex的图像在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　. ‎ ‎11.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x2+3x-4,则f'(1)=　　　　　. ‎ ‎12.若函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎13.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(　　)‎ A.x+y-1=0 ‎ B.x-y-1=0‎ C.x+y+1=0 ‎ D.x-y+1=0‎ ‎14.下面四个图像中,有一个是函数f(x)=‎1‎‎3‎x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图像,则f(-1)=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.-‎‎2‎‎3‎ C.‎7‎‎3‎ D.-‎1‎‎3‎或‎5‎‎3‎〚导学号21500715〛‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.(2017河南郑州三模)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列‎1‎f(n)‎的前n项和为Sn,则S2 017的值为(　　)‎ A.‎2 017‎‎2 018‎ B.‎‎2 014‎‎2 015‎ C.‎2 015‎‎2 016‎ D.‎‎2 016‎‎2 017‎ ‎17.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+‎15‎‎4‎x-9都相切,则a等于(　　)‎ A.-1或-‎25‎‎64‎ ‎ B.-1或‎21‎‎4‎ C.-‎7‎‎4‎或-‎25‎‎64‎ ‎ D.-‎7‎‎4‎或7‎ 参考答案 课时规范练14　导数的概念及运算 ‎1.A　∵f'(x)=‎1‎‎3‎x‎-‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴‎limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx ‎=-‎limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎‎-Δx ‎=-f'(1)=-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎-‎‎2‎‎3‎=-‎1‎‎3‎.‎ ‎2.B　∵f'(x)=2f'(1)+‎1‎x,∴f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.故选B.‎ ‎3.B　由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).‎ 因为f'(x)=-2x+1,‎ 所以f'(1)=-1,‎ 故切线方程为y=-(x-1),‎ 即x+y-1=0.‎ ‎4.B　因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-‎1‎x,令2x-‎1‎x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎.故所求的最小值为‎2‎.‎ ‎5.B　因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).‎ 又f'(x)为偶函数,所以a=0,‎ 所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.‎ 所以f'(0)=-3.‎ 故所求的切线方程为y=-3x.‎ ‎6.C　依题意得f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,则b=0,又m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,故选C.‎ ‎7.A　设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).‎ 若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.‎ A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;‎ B项,f'(x)=‎1‎x(x>0),显然k1·k2=‎1‎x‎1‎‎·‎‎1‎x‎2‎=-1无解,故该函数不具有T性质;‎ C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex‎1‎‎·‎ex‎2‎=-1无解,故该函数不具有T性质;‎ D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x‎1‎‎2‎×3x‎2‎‎2‎=-1无解,故该函数不具有T性质.‎ 综上,选A.‎ ‎8.C　令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.‎ ‎9.‎1-ln2‎‎4‎　由f'(x)=‎1-lnxx‎2‎,得f'(2)=‎1-ln2‎‎4‎.‎ ‎10.y=2ex-e　∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,‎ ‎∴f'(1)=2e,∴f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.‎ ‎11.8　∵f'(x)=‎1‎x-2f'(-1)x+3,‎ ‎∴f'(-1)=-1+2f'(-1)+3,‎ 解得f'(-1)=-2,∴f'(1)=1+4+3=8.‎ ‎12.[2,+∞)　∵f(x)=‎1‎‎2‎x2-ax+ln x,‎ ‎∴f'(x)=x-a+‎1‎x.‎ ‎∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,‎ ‎∴f'(x)存在零点,∴x+‎1‎x-a=0有解,‎ ‎∴a=x+‎1‎x≥2(x>0).‎ ‎13.B　设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像相切于点(x0,y0),‎ 则kx‎0‎-1=y‎0‎,‎x‎0‎ln x‎0‎=y‎0‎,‎ln x‎0‎+1=k,‎ 解得x‎0‎‎=1,‎y‎0‎‎=0,‎k=1.‎ ‎∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.‎ ‎14.D　∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,‎ ‎∴f'(x)的图像开口向上,故②④排除.若f'(x)的图像为①,则a=0,f(-1)=‎5‎‎3‎;‎ 若f'(x)的图像为③,则a2-1=0.‎ 又对称轴x=-a>0,∴a=-1,‎ ‎∴f(-1)=-‎1‎‎3‎.‎ ‎15.1-ln 2　对函数y=ln x+2求导,得y'=‎1‎x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=‎1‎x+1‎.‎ 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).‎ 由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=‎1‎x‎1‎(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=‎1‎x‎2‎‎+1‎(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,‎ 所以‎1‎x‎1‎‎=‎1‎x‎2‎‎+1‎,‎ln(x‎2‎+1)=ln x‎1‎+x‎2‎x‎2‎‎+1‎+1,‎ 解得x1=‎1‎‎2‎,x2=-‎1‎‎2‎.‎ 所以k=‎1‎x‎1‎=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.‎ ‎16.A　f'(x)=2x+m,可设f(x)=x2+mx+c,由f(0)=0,可得c=0.‎ 所以函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线的斜率为2+m=3,解得m=1,‎ 即f(x)=x2+x,则‎1‎f(n)‎‎=‎1‎n‎2‎‎+n=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎.‎ 所以S2 017=1-‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2 017‎‎-‎‎1‎‎2 018‎=1-‎1‎‎2 018‎‎=‎‎2 017‎‎2 018‎.‎ ‎17.A　因为y=x3,所以y'=3x2,设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x‎0‎‎3‎),‎ 则在该点处的切线斜率为k=3x‎0‎‎2‎,所以切线方程为y-x‎0‎‎3‎=3x‎0‎‎2‎(x-x0),即y=3x‎0‎‎2‎x-2x‎0‎‎3‎.‎ 又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=‎3‎‎2‎.‎ 当x0=0时,由y=0与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切可得a=-‎25‎‎64‎.‎ 当x0=‎3‎‎2‎时,由y=‎27‎‎4‎x-‎27‎‎4‎与y=ax2+‎15‎‎4‎x-9相切,可得a=-1.‎