重庆市外国语学校2019-2020学年高一6月月考数学试题

重庆市外国语学校2019-2020学年高一6月月考数学试题

www.ks5u.com 重庆外国语学校 ‎2019-2020学年（下）6月月考 高2022级•数学试题 ‎（满分150分，120分钟完成）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则下列不等式不能成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎4．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上是增函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（ ）‎ A．17 B．29 C．23 D．35‎ ‎6．在等差数列中，若是方程的两根，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2‎ ‎7.已知角是第二象限角，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎11．圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和，则_______.‎ ‎14. 两平行直线与的距离是______．‎ ‎15．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是_______.‎ ‎16．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是______.‎ 三、解答题 ‎ ‎17．已知直线：，：，圆：.‎ ‎（1）当为何值时，直线与平行；‎ ‎（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式 的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎20．已知数列为正项等比数列，满足，且，，构成等差数列，数列满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.‎ ‎21．如图，在四边形中，，，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.‎ ‎22．已知数列满足，点在直线上.数列满足，（且）.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）（i）求证：（且）；‎ ‎（ii）求证：.‎ 重庆外国语学校 ‎2019-2020学年（下）6月月考 高2022级•数学试题 ‎（满分150分，120分钟完成）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：，，所以，‎ 又∵，∴．‎ 故选：B．‎ ‎2．若，则下列不等式不能成立的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，有，A正确；‎ 因为，所以，B正确；‎ ‎，C正确；‎ 当时，，，不成立，D错误．‎ 故选D.‎ ‎3．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 因为直线与直线互相垂直，‎ 所以，得．‎ 故选：D．‎ ‎4．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上是增函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 的最小正周期为，故排除；‎ 不是周期函数，故排除；‎ 的最小正周期是，且在区间上是增函数，故正确；‎ D. 的最小正周期是，故排除.‎ 故选：C.‎ ‎5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（ ）‎ A．17 B．29 C．23 D．35‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 依题意为等差数列，且，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎6．在等差数列中，若是方程的两根，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由题意知，则.‎ 故选：A ‎7.已知角是第二象限角，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎8．已知，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 因为，所以在方向上的投影为.‎ ‎9．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意，解得，由余弦定理得.‎ ‎10．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，‎ 且b2+c2＝a2+bc．‎ 则：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 故：A．‎ 由于：sinBsinC＝sin2A，‎ 利用正弦定理得：bc＝a2，‎ 所以：b2+c2﹣2bc＝0，‎ 故：b＝c，‎ 所以：△ABC为等边三角形．‎ 故选C．‎ ‎11．圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：由题意，圆心坐标为（1，−2），半径为， ∴圆心到直线的距离为，‎ ‎ ∴圆上到直线的距离等于的点共有3个. 故选：C ‎12．如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 设，则,,‎ ‎,‎ ‎+2‎ ‎,‎ 其中 ‎∴的最大值为 故选B.‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和，则_______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故答案为：7‎ ‎14．两平行直线与的距离是____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝‎ ‎15．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是_________.‎ ‎【答案】 8‎ 试题分析：由∥得，因此，当且仅当时取等号 ‎16．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】‎ 先将直线化为，可知直线过定点，可得在以为直径的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值.‎ ‎【详解】‎ 由直线化为，‎ 令，解得，所以直线过定点，因为为垂足，所以为直角三角形，斜边为，所以在以为直径的圆上运动，由点可知以为直径的圆圆心为，半径为，‎ 则的取值范围，又因为，‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题 ‎ ‎17．已知直线：，：，圆：.‎ ‎（1）当为何值时，直线与平行；‎ ‎（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当 时，直线的斜率，的斜率，由两直线平行可知，‎ ‎，解得或.当时，：，：，符合题意，‎ 当时，：，：，此时两直线重合，不符合题意.‎ 当时，：，：，两直线垂直，不符合题意；‎ 综上所述：.‎ ‎（2）由题意知，：，则圆的半径，圆心为，‎ 则圆心到直线的距离.由，得 ‎ 整理得， ，解得或.‎ 故所求直线方程为或.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎（1）‎ 所以．由，得 ，‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ ‎（2）由得，所以，‎ 所以．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式 的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以.‎ 所以，即，‎ 解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.‎ 因为，所以，‎ 则.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故的取值范围为.‎ ‎20．已知数列为正项等比数列，满足，且，，构成等差数列，数列满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）‎ ‎【详解】‎ 解：(Ⅰ)设等比数列的公比为q(q)，由题意，得 ‎ 解得或（舍）‎ 又所以 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)．‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎21．如图，在四边形中，，，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在四边形中，因为，，‎ 所以 ，‎ 在中,可得，，‎ 由正弦定理得:,解得： .‎ ‎（2）因为，可得, ‎ 四边形内角和得， ‎ 在中，. ‎ 在中，， ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时，取最小值.‎ ‎22．已知数列满足，点在直线上.数列满足，（且）.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）（i）求证：（且）；‎ ‎（ii）求证：.‎ ‎【答案】(1) ; (2)证明见解析 ‎【详解】‎ ‎(1) 将代入有,故数列是以为首项,2为公比的等比数列.所以,即 ‎(2) (i)证明：因为,故.‎ 即,故即（且）.证毕.‎ ‎(ii)由题,,又,故.当时.‎ 故 ‎.‎ 即证明.‎ 先证明 ,‎ 即证当时 显然成立.故.‎ 所以 ‎ 成立.‎