2018-2019学年湖北省黄冈市重点中学高一4月月考数学（理）试卷

2018-2019学年湖北省黄冈市重点中学高一4月月考数学（理）试卷

‎2018-2019学年湖北省黄冈市重点中学高一4月月考 数学（理）试卷 ‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. )‎ ‎1．下列有关棱柱的命题中正确的是(　　)‎ A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D．棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等 答案：C ‎2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．a＜b＜＜ 　B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b 答案：B ‎3．已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=(　　)‎ A.-1　 B.2 C.0或-2　 D.-1或2‎ ‎【解析】选D.若a=0,两直线方程为-x+2y+1=0和x=-3,‎ 此时两直线相交,不平行,所以a≠0.当a≠0时,若两直 线平行,则有 解得a=-1或a=2.‎ ‎4．定义运算a⊕b＝a2－ab－b2，则sin⊕cos＝(　　)‎ A．－－ B．－＋ C．－ D. 解析：sin⊕cos＝sin2－sincos－cos2＝－－.‎ 答案：A ‎5．已知sinα＝，则cos4α的值是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝，‎ ‎∴cos4α＝2cos22α－1＝2×2－1＝－.‎ 答案：B ‎6．不等式x2－|x|－2＜0的解集是(　　)‎ A．{x|－2＜x＜2}　　　　　　B．{x|x＜－2，或x＞2}‎ C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1，或x＞1}‎ 解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x|－2＜0⇔－2＜x＜2.‎ 答案：A ‎7.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于　(　　)‎ ‎ ‎ 解析：由a·1+2·1=0得a=-2.‎ 答案：D ‎8．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a2018＝(　　)‎ A．1 B．2 C. D．2－987‎ 解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，‎ a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，‎ 即an的值以6为周期重复出现，故a2018＝2. ‎ 答案：B ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(　　)‎ A．66　　　　B．65　　　　C．61　　　　D．56‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]‎ ‎＝2n－5.‎ ‎∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15.‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋＝2＋64＝66. ‎ 答案：A ‎10．设x，y满足则z＝x＋y(　　)‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，又无最大值 答案：B ‎11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．48　　　　 B．32＋8 ‎ ‎ C．48＋8 D．80‎ 解析：换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为48＋8.‎ 答案：C ‎12．设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝(　　)‎ A．0 B.π2 C.π2 D.π2‎ 解析：∵f(x)＝2x－cosx，‎ ‎∴f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)‎ ‎＝2a1－cosa1＋2a2－cosa2＋2a3－cosa3＋2a4－cosa4＋2a5－cosa5‎ ‎＝10a3－(cosa1＋cosa2＋cosa3＋cosa4＋cosa5)‎ ‎＝10a3－ ‎＝10a3－(＋＋1)cosa3＝5π.①‎ ‎[f(a3)]2－a1a5＝(2a3－cosa3)2－ ‎＝(3a3－cosa3)(a3－cosa3)＋.②‎ 由①知a3＝，代入②得结果为.‎ 答案：D 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。‎ ‎13．在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于 ‎ 解析：观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13. ‎ ‎14．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 。 ‎ 解析：如图所示，依题意有 ‎∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，‎ 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，‎ 从而CD＝CA＝10(海里)，‎ 答案：10海里 ‎15．已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_________.‎ 解析：设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称 点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,‎ 所以 解得a=1,b=0.‎ 又反射光线经过点N(2,6), ‎ 所以所求直线的方程为 即6x-y-6=0. ‎ 答案:6x-y-6=0‎ ‎16．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式＋＋＋…＋≥0成立的最大自然数n是__________．‎ 解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，‎ ＋＋＋…＋ ‎＝(a1＋a2＋…＋an)－ ‎＝－ ‎＝－≥0，‎ ‎∴≥.‎ ‎∵0＜q＜1，化简，得a≥，q4≤qn－1，‎ ‎∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5. ‎ 答案：5‎ 三、解答题： 本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程。‎ ‎17. （本题满分10分）设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．‎ 解析：（此题有多种解法）‎ ‎∵f(x)＝ax2＋bx，‎ ‎∴ ‎∴ （4分）‎ ‎∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，‎ ‎∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． （7分）‎ ‎∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，‎ ‎∴6≤f(－2)≤10. （10分）‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以解得 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，‎ Sn＝3n＋×2＝n2＋2n. （6分）‎ ‎(2)由(1)知，an＝2n＋1，‎ 从而bn＝＝ ‎＝· ‎＝，‎ 从而Tn＝ ‎＝ ‎＝，‎ 即数列{bn}的前n项和Tn＝. （12分）‎ ‎19．（本题满分12分）某市2011年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2012年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：‎ ‎(1)该市在2018年应该投入多少辆电力型公交车？‎ ‎(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg657≈2.82，lg2≈0.30，lg3≈0.48)‎ 解析：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2018年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)． （4分）‎ ‎(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，依据题意，得＞，‎ 于是Sn＝＞5 000(辆)，即1.5n＞.‎ 两边取常用对数，则n·lg1.5＞lg，‎ 即n＞≈7.3，又n∈N*，因此n≥8.‎ 所以到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.（12分）‎ ‎20. （本题满分12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.‎ ‎(1)证明:sinAsinB=sinC.‎ ‎(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.‎ ‎【解析】(1)由正弦定理==,可知原式可以化简为+==1,因为A和B为三角形内角,所以sinAsinB≠0,‎ 则两边同时乘以sinAsinB,可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB,‎ 由和角公式可知：‎ sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,原式得证. （6分）‎ ‎(2)由b2+c2-a2=bc,根据余弦定理可知,cosA==.‎ 因为A为三角形内角,A∈(0,π),sinA>0,则sinA==,即=,由(1)可知+==1,所以==,所以tanB=4. （12分）‎ ‎21. （本题满分12分）设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).　‎ ‎ (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.‎ ‎(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,‎ 此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0; （3分）‎ 当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,‎ 解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0. （6分）‎ ‎(2)由直线方程可得M,N(0,2+a),因为a>-1,‎ 所以S△OMN=××(2+a)=×=≥×[2+2]=2,‎ 当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.‎ 此时直线l的方程为x+y-2=0. （12分）‎ ‎22．（本题满分12分）设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值. ‎ 解析：(1)f(x)＝sincos－cossin－‎ cos＝sin－cos＝sin，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝8. （5分）‎ ‎(2)在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．‎ 由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，‎ 从而g(x)＝f(2－x)‎ ‎＝sin ‎＝sin ‎＝cos.‎ 当0≤x≤时，≤x＋≤，‎ 因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝. （12分）‎