高考卷 普通高等学校招生考试 数学(江苏卷)

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高考卷 普通高等学校招生考试 数学(江苏卷)

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(江苏卷) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含选择题(第 1 题~第 10 题,共 10 题)、填空题(第 11 题~第 16 题,共 6 题)、解答题(第 17 题~第 21 题,共 5 题)三部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 5、如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式: n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为: ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰有.. 一项..是符合题目要求的。 1.下列函数中,周期为 2  的是(D) A. sin 2 xy  B. sin 2y x C. cos 4 xy  D. cos4y x 解析:利用公式  2T 即可得到答案 D。 2.已知全集U Z , 2{ 1,0,1,2}, { | }A B x x x    ,则 UA C B 为(A) A.{ 1,2} B.{ 1,0} C.{0,1} D.{1,2} 解析:求 B= 1,0 } 可求 UA C B ={ 1,2} 选 A 3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 2 0x y  ,则它的离心率为(A) A. 5 B. 5 2 C. 3 D. 2 解析:由 abb a 22 1  得 abac 522  , 5 a ce 选 A 4.已知两条直线 ,m n ,两个平面 ,  ,给出下面四个命题:(C) ① // ,m n m n    ② // , , //m n m n      ③ // , // //m n m n  ④ // , // ,m n m n      其中正确命题的序号是 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 解析:用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确,②中 m,n 可以平行或异面③ 中 n 可以在 内 选 C 5.函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x     的单调递增区间是(D) A. 5[ , ]6   B. 5[ , ]6 6    C.[ ,0]3  D.[ ,0]6  解析: )3sin(2)(  xxf 因    3,3 4 3 x 故    3,2 1 3 x 得 0,6 1 x 选 D 6.设函数 ( )f x 定义在实数集上,它的图像关于直线 1x  对称,且当 1x  时, ( ) 3 1xf x   , 则有(B) A. 1 3 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f  B. 2 3 1( ) ( ) ( )3 2 3f f f  C. 2 1 3( ) ( ) ( )3 3 2f f f  D. 3 2 1( ) ( ) ( )2 3 3f f f  解析:利用对称性,三点到直线 1x  距离越远越大 7.若对于任意实数 x ,有 3 2 3 0 1 2 3( 2) ( 2) ( 2)x a a x a x a x       ,则 2a 的值为(B) A.3 B. 6 C.9 D.12 解析: 33 )]2(2[  xx 622 32  Ca 选 B 8.设 2( ) lg( )1f x ax   是奇函数,则使 ( ) 0f x  的 x 的取值范围是(A) A.( 1,0) B.(0,1) C.( ,0) D.( ,0) (1, )  解析:由 10)0(  af 得 01 1lg)(   x xxf 得          11 1 01 1 x x x x 01  x 选 A 9.已知二次函数 2( )f x ax bx c   的导数为 '( )f x , '(0) 0f  ,对于任意实数 x 都有 ( ) 0f x  ,则 (1) '(0) f f 的最小值为(C) A.3 B. 5 2 C. 2 D. 3 2 解 析 : 0(0)f' 2)('  bbaxxf 对 于 任 意 实 数 x 都 有 ( ) 0f x  得 04b 04b 0 22  cacaca 211121)0(' )1(  b ac b ca b cba f f 当取 a=c 时取等号。 选 C 10.在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 {( , ) | 1,A x y x y   且 0, 0}x y  ,则平面 区域 {( , ) | ( , ) }B x y x y x y A    的面积为(B) A. 2 B.1 C. 1 2 D. 1 4 解析:令             0 0 1 vu vu u yxv yxu 作出区域是等腰直角三角形,可求出面积 1122 1 s 选 B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上........。 11.若 1 3cos( ) ,cos( )5 5        ,.则 tan tan   1/2 . 解 析 : 5 1sinsincoscos)cos(   5 3sinsincoscos)cos(   求出        5 1sinsin 5 2coscos   2 1 coscos sinsintantan    12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 , ,A B C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学 校规定每位同学选修 4 门,共有 75 种不同选修方案。(用数值作答) 解析:按照选一门或一门都不选分类: 754 6 0 3 3 6 1 3  CCCC 13.已知函数 3( ) 12 8f x x x   在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为 ,M m ,则 M m  32 . 解析: )4(3123)(' 22  xxxf     递减,递增在,,,在 223223)(  xf 8)2(,24)2(  fNfM 得 M m  32 14.正三棱锥 P ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 6 55 . 解析:设 P 在 底面 ABC 上的射影为 O,则 PO=2,且 O 是三角形 ABC 的中心,设底面边 长为 a,则 3222 3 3 2  aa 设侧棱为 b 则 22b 斜高 5'h 。由面积 法求 A 到侧面 PBC 的距离 5 56 5 2322 3   h 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABC 顶点 ( 4,0)A  和 (4,0)C ,顶点 B 在椭圆 1925 22  yx 上,则 sin sin sin A C B   5/4 . 解析:利用椭圆定义和正弦定理 得 1052  ca b=2*4=8 sin sin sin A C B   4 5 8 10  b ca 16.某时钟的秒针端点 A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间 0t  时,点 A 与钟面上标12的点 B 重合,将 ,A B 两点的距离 ( )d cm 表示成 ( )t s 的函数,则 d  10sin 60 t ,其中 [0,60]t  。 解析: 30260 ttAOB   60sin102sin52 tAOBd  三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)某气象站天气预报的准确率为80% ,计算(结果保留到小数点后 面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;(4 分) (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;(4 分) (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第3 次预报准确的概率;(4 分) 解:(1) 2 3 2 5 4 4 16 11 10 0.055 5 25 125p C                (2) 4 1 5 4 41 1 1 0.0064 0.995 5P C           (3) 3 1 4 4 4 41 0.025 5 5P C         18.(本小题满分 12 分)如图,已知 1 1 1 1ABCD A B C D 是 棱长为 3 的正方体,点 E 在 1AA 上,点 F 在 1CC 上,且 1 1AE FC  , (1)求证: 1, , ,E B F D 四点共面;(4 分) (2)若点G 在 BC 上, 2 3BG  ,点 M 在 1BB 上, GM BF ,垂足为 H ,求证: EM  面 1 1BCC B ;(4 分) (3)用 表示截面 1EBFD 和面 1 1BCC B 所成锐二面角大小,求 tan 。(4 分) 解:(1)证明:在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1,连接 CN,EN,显然四边形 CFD 1 N 是平 行四边形,所以 D 1 F//CN,同理四边形 DNEA 是平行四边形,所以 EN//AD,且 EN=AD, 又 BC//AD,且 AD=BC,所以 EN//BC,EN=BC,所以四边形 CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE,所以 D 1 F//BE,所以 1, , ,E B F D 四点共面。 (2)因为GM BF 所以 BCF ∽  MBG,所以 MB BG BC CF  ,即 2 3 3 2 MB  ,所以 MB=1, 因为 AE=1,所以四边形 ABME 是矩形,所以 EM⊥BB 1 又平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1 ,且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内,所以 EM  面 1 1BCC B (3) EM  面 1 1BCC B ,所以 EM  BF, EM  MH,GM BF ,所以∠MHE 就是截 面 1EBFD 和面 1 1BCC B 所成锐二面角的平面角,∠EMH= 90 ,所以 tan ME MH   , ME=AB=3, BCF ∽  MHB,所以 3:MH=BF:1,BF= 2 22 3 13  ,所以 MH= 3 13 , 所以 tan ME MH   = 13 1D 1A A BC D 1C 1B M EF H G 19、(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过 y 轴正方向上一点 (0, )C c 任作一直线,与抛物线 2y x 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 :l y c  交于 ,P Q , (1)若 2OA OB   ,求 c 的值;(5 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切 线;(5 分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分) 解:(1)设过 C 点的直线为 y kx c  ,所以  2 0x kx c c   ,即 2 0x kx c   , 设 A   1 1 2 2, , ,x y B x y ,OA  = 1 1,x y ,  2 2,OB x y ,因为 2OA OB   ,所以 1 2 1 2 2x x y y  ,即   1 2 1 2 2x x kx c kx c    ,  2 2 1 2 1 2 1 2 2x x k x x kc x x c     所以 2 2 2c k c kc k c     ,即 2 2 0,c c   所以  2 1c c  舍去 ( 2 ) 设 过 Q 的 切 线 为  1 1 1y y k x x   , / 2y x , 所 以 1 12k x , 即 2 2 1 1 1 1 12 2 2y x x x y x x x     , 它 与 y c  的 交 点 为 M 1 1 ,2 2 x c cx       , 又 2 1 2 1 2, ,2 2 2 2 x x y y k kP c           ,所以 Q ,2 k c    ,因为 1 2x x c  ,所以 2 1 c xx   , 所以 M 1 2 , ,2 2 2 x x kc c            ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 (3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ,2 k c    ,因为 PQ  x 轴,所以 ,2 P kP y     因为 1 2 2 2 x x k  ,所以 P 为 AB 的中点。 20.(本小题满分 16 分)已知 { }na 是等差数列, { }nb 是公比为 q 的等比数列, 1 1 2 2 1,a b a b a   ,记 nS 为数列{ }nb 的前 n 项和, (1)若 ( ,k mb a m k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: 1 1( 1)kS m a   ;(4 分) (2)若 3 (ib a i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列{ }nb 中每一项都是数列{ }na 中 的项;(8 分) (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列{ }nb 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的 值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4 分) 解:设{ }na 的公差为 d ,由 1 1 2 2 1,a b a b a   ,知 0, 1d q  ,  1 1d a q  ( 1 0a  ) B A x y O C Q l P (1)因为 k mb a ,所以    1 1 1 11 1ka q a m a q     ,     1 1 1 1 2 1kq m q m m q         , 所以        1 1 1 1 1 1 1 1 11 k k a q a m m q S m aq q           (2)    2 3 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q     ,由 3 ib a , 所以       2 21 1 1 , 1 2 0,q i q q i q i         解得, 1q  或 2q i  ,但 1q  , 所以 2q i  ,因为 i 是正整数,所以 2i  是整数,即 q 是整数,设数列{ }nb 中任意一项 为  1 1 n nb a q n N   ,设数列{ }na 中的某一项 ma  m N  =    1 11 1a m a q   现在只要证明存在正整数 m ,使得 n mb a ,即在方程    1 1 1 11 1na q a m a q     中 m 有正整数解即可,    1 1 2 211 1 1 , 1 11 n n nqq m q m q q qq              ,所以 2 22 nm q q q      ,若 1i  ,则 1q   ,那么 2 1 1 1, 2 2 2n nb b a b b a     ,当 3i  时,因为 1 1 2 2,a b a b  ,只要考虑 3n  的情况,因为 3 ib a ,所以 3i  ,因此 q 是正 整数,所以 m 是正整数,因此数列{ }nb 中任意一项为  1 1 n nb a q n N   与数列{ }na 的第 2 22 nq q q    项相等,从而结论成立。 (3)设数列{ }nb 中有三项  , , , , ,m n pb b b m n p m n p N    成等差数列,则有 2 1 1 1 1 1 1 ,n m pa q a q a q    设  , , ,n m x p n y x y N      ,所 以 2 1 y x qq   ,令 1, 2x y  ,则 3 2 1 0,q q     21 1 0q q q    ,因为 1q  ,所以 2 1 0q q   , 所 以  5 1 2q  舍去负值 , 即 存 在 5 1 2q  使 得 { }nb 中 有 三 项  1 3, ,m m mb b b m N     成等差数列。 21.(本小题满分 16 分)已知 , , ,a b c d 是不全为 0 的实数,函数 2( )f x bx cx d   , 3 2( )g x ax bx cx d    , 方 程 ( ) 0f x  有 实 根 , 且 ( ) 0f x  的 实 数 根 都 是 ( ( )) 0g f x  的根,反之, ( ( )) 0g f x  的实数根都是 ( ) 0f x  的根, (1)求 d 的值;(3 分) (2)若 0a  ,求 c 的取值范围;(6 分) (3)若 1, (1) 0a f  ,求 c 的取值范围。(7 分) 解 ( 1 ) 设 0x 是   0f x  的 根 , 那 么  0 0f x  , 则 0x 是 ( ( )) 0g f x  的 根 , 则  0 0,g f x    即  0 0g  ,所以 0d  。 (2)因为 0a  ,所以    2 2,f x bx cx g x bx cx    ,则    ( ( ))g f x f x bf x c    =  2 2 2bx cx b x bcx c   =0 的根也是     0f x x bx c   的根。 (a)若 0b  ,则 0c  ,此时   0f x  的根为 0,而 ( ( )) 0g f x  的根也是 0,所以 0c  , (b)若 0b  ,当 0c  时,   0f x  的根为 0,而 ( ( )) 0g f x  的根也是 0,当 0c  时,   0f x  的根为 0 和 c b  ,而   0bf x c  的根不可能为 0 和 c b  ,所以   0bf x c  必 无实数根,所以  2 24 0,bc b c    所以 2 4 0,0 4c c c    ,从而 0 4c  所以当 0b  时, 0c  ;当 0b  时, 0 4c  。 (3) 1, (1) 0a f  ,所以 0b c  ,即   0f x  的根为 0 和 1, 所以    22 2cx cx c cx cx c      =0 必无实数根, (a)当 0c  时,t = 2cx cx  = 21 2 4 4 c cc x       ,即函数   2h t t ct c   在 4 ct  ,   0h t  恒成立,又   2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c          ,所以  min 04 ch t h     , 即 2 2 0,16 4 c c c   所以 160 3c  ; (b)当 0c  时,t= 2cx cx  = 21 2 4 4 c cc x       ,即函数   2h t t ct c   在 4 ct  ,   0h t  恒成立,又   2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c          ,所以  min 02 ch t h     , 2 4 cc  0 ,而 0c  ,所以 2 4 cc  0 ,所以 c 不可能小于 0, (c) 0,c  则 0,b  这时   0f x  的根为一切实数,而   0g f x    ,所以 0,c  符合 要求。 所以 160 3c 
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