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文档介绍
高考卷 普通高等学校招生考试 数学(江苏卷)
2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(江苏卷) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含选择题(第 1 题~第 10 题,共 10 题)、填空题(第 11 题~第 16 题,共 6 题)、解答题(第 17 题~第 21 题,共 5 题)三部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 5、如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式: n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为: ( ) (1 )k k n k n nP k C p p 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰有.. 一项..是符合题目要求的。 1.下列函数中,周期为 2 的是(D) A. sin 2 xy B. sin 2y x C. cos 4 xy D. cos4y x 解析:利用公式 2T 即可得到答案 D。 2.已知全集U Z , 2{ 1,0,1,2}, { | }A B x x x ,则 UA C B 为(A) A.{ 1,2} B.{ 1,0} C.{0,1} D.{1,2} 解析:求 B= 1,0 } 可求 UA C B ={ 1,2} 选 A 3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 2 0x y ,则它的离心率为(A) A. 5 B. 5 2 C. 3 D. 2 解析:由 abb a 22 1 得 abac 522 , 5 a ce 选 A 4.已知两条直线 ,m n ,两个平面 , ,给出下面四个命题:(C) ① // ,m n m n ② // , , //m n m n ③ // , // //m n m n ④ // , // ,m n m n 其中正确命题的序号是 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 解析:用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确,②中 m,n 可以平行或异面③ 中 n 可以在 内 选 C 5.函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x 的单调递增区间是(D) A. 5[ , ]6 B. 5[ , ]6 6 C.[ ,0]3 D.[ ,0]6 解析: )3sin(2)( xxf 因 3,3 4 3 x 故 3,2 1 3 x 得 0,6 1 x 选 D 6.设函数 ( )f x 定义在实数集上,它的图像关于直线 1x 对称,且当 1x 时, ( ) 3 1xf x , 则有(B) A. 1 3 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f B. 2 3 1( ) ( ) ( )3 2 3f f f C. 2 1 3( ) ( ) ( )3 3 2f f f D. 3 2 1( ) ( ) ( )2 3 3f f f 解析:利用对称性,三点到直线 1x 距离越远越大 7.若对于任意实数 x ,有 3 2 3 0 1 2 3( 2) ( 2) ( 2)x a a x a x a x ,则 2a 的值为(B) A.3 B. 6 C.9 D.12 解析: 33 )]2(2[ xx 622 32 Ca 选 B 8.设 2( ) lg( )1f x ax 是奇函数,则使 ( ) 0f x 的 x 的取值范围是(A) A.( 1,0) B.(0,1) C.( ,0) D.( ,0) (1, ) 解析:由 10)0( af 得 01 1lg)( x xxf 得 11 1 01 1 x x x x 01 x 选 A 9.已知二次函数 2( )f x ax bx c 的导数为 '( )f x , '(0) 0f ,对于任意实数 x 都有 ( ) 0f x ,则 (1) '(0) f f 的最小值为(C) A.3 B. 5 2 C. 2 D. 3 2 解 析 : 0(0)f' 2)(' bbaxxf 对 于 任 意 实 数 x 都 有 ( ) 0f x 得 04b 04b 0 22 cacaca 211121)0(' )1( b ac b ca b cba f f 当取 a=c 时取等号。 选 C 10.在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 {( , ) | 1,A x y x y 且 0, 0}x y ,则平面 区域 {( , ) | ( , ) }B x y x y x y A 的面积为(B) A. 2 B.1 C. 1 2 D. 1 4 解析:令 0 0 1 vu vu u yxv yxu 作出区域是等腰直角三角形,可求出面积 1122 1 s 选 B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上........。 11.若 1 3cos( ) ,cos( )5 5 ,.则 tan tan 1/2 . 解 析 : 5 1sinsincoscos)cos( 5 3sinsincoscos)cos( 求出 5 1sinsin 5 2coscos 2 1 coscos sinsintantan 12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 , ,A B C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学 校规定每位同学选修 4 门,共有 75 种不同选修方案。(用数值作答) 解析:按照选一门或一门都不选分类: 754 6 0 3 3 6 1 3 CCCC 13.已知函数 3( ) 12 8f x x x 在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为 ,M m ,则 M m 32 . 解析: )4(3123)(' 22 xxxf 递减,递增在,,,在 223223)( xf 8)2(,24)2( fNfM 得 M m 32 14.正三棱锥 P ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 6 55 . 解析:设 P 在 底面 ABC 上的射影为 O,则 PO=2,且 O 是三角形 ABC 的中心,设底面边 长为 a,则 3222 3 3 2 aa 设侧棱为 b 则 22b 斜高 5'h 。由面积 法求 A 到侧面 PBC 的距离 5 56 5 2322 3 h 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABC 顶点 ( 4,0)A 和 (4,0)C ,顶点 B 在椭圆 1925 22 yx 上,则 sin sin sin A C B 5/4 . 解析:利用椭圆定义和正弦定理 得 1052 ca b=2*4=8 sin sin sin A C B 4 5 8 10 b ca 16.某时钟的秒针端点 A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间 0t 时,点 A 与钟面上标12的点 B 重合,将 ,A B 两点的距离 ( )d cm 表示成 ( )t s 的函数,则 d 10sin 60 t ,其中 [0,60]t 。 解析: 30260 ttAOB 60sin102sin52 tAOBd 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)某气象站天气预报的准确率为80% ,计算(结果保留到小数点后 面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;(4 分) (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;(4 分) (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第3 次预报准确的概率;(4 分) 解:(1) 2 3 2 5 4 4 16 11 10 0.055 5 25 125p C (2) 4 1 5 4 41 1 1 0.0064 0.995 5P C (3) 3 1 4 4 4 41 0.025 5 5P C 18.(本小题满分 12 分)如图,已知 1 1 1 1ABCD A B C D 是 棱长为 3 的正方体,点 E 在 1AA 上,点 F 在 1CC 上,且 1 1AE FC , (1)求证: 1, , ,E B F D 四点共面;(4 分) (2)若点G 在 BC 上, 2 3BG ,点 M 在 1BB 上, GM BF ,垂足为 H ,求证: EM 面 1 1BCC B ;(4 分) (3)用 表示截面 1EBFD 和面 1 1BCC B 所成锐二面角大小,求 tan 。(4 分) 解:(1)证明:在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1,连接 CN,EN,显然四边形 CFD 1 N 是平 行四边形,所以 D 1 F//CN,同理四边形 DNEA 是平行四边形,所以 EN//AD,且 EN=AD, 又 BC//AD,且 AD=BC,所以 EN//BC,EN=BC,所以四边形 CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE,所以 D 1 F//BE,所以 1, , ,E B F D 四点共面。 (2)因为GM BF 所以 BCF ∽ MBG,所以 MB BG BC CF ,即 2 3 3 2 MB ,所以 MB=1, 因为 AE=1,所以四边形 ABME 是矩形,所以 EM⊥BB 1 又平面 ABB 1 A 1 ⊥平面 BCC 1 B 1 ,且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内,所以 EM 面 1 1BCC B (3) EM 面 1 1BCC B ,所以 EM BF, EM MH,GM BF ,所以∠MHE 就是截 面 1EBFD 和面 1 1BCC B 所成锐二面角的平面角,∠EMH= 90 ,所以 tan ME MH , ME=AB=3, BCF ∽ MHB,所以 3:MH=BF:1,BF= 2 22 3 13 ,所以 MH= 3 13 , 所以 tan ME MH = 13 1D 1A A BC D 1C 1B M EF H G 19、(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过 y 轴正方向上一点 (0, )C c 任作一直线,与抛物线 2y x 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 :l y c 交于 ,P Q , (1)若 2OA OB ,求 c 的值;(5 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切 线;(5 分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分) 解:(1)设过 C 点的直线为 y kx c ,所以 2 0x kx c c ,即 2 0x kx c , 设 A 1 1 2 2, , ,x y B x y ,OA = 1 1,x y , 2 2,OB x y ,因为 2OA OB ,所以 1 2 1 2 2x x y y ,即 1 2 1 2 2x x kx c kx c , 2 2 1 2 1 2 1 2 2x x k x x kc x x c 所以 2 2 2c k c kc k c ,即 2 2 0,c c 所以 2 1c c 舍去 ( 2 ) 设 过 Q 的 切 线 为 1 1 1y y k x x , / 2y x , 所 以 1 12k x , 即 2 2 1 1 1 1 12 2 2y x x x y x x x , 它 与 y c 的 交 点 为 M 1 1 ,2 2 x c cx , 又 2 1 2 1 2, ,2 2 2 2 x x y y k kP c ,所以 Q ,2 k c ,因为 1 2x x c ,所以 2 1 c xx , 所以 M 1 2 , ,2 2 2 x x kc c ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 (3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ,2 k c ,因为 PQ x 轴,所以 ,2 P kP y 因为 1 2 2 2 x x k ,所以 P 为 AB 的中点。 20.(本小题满分 16 分)已知 { }na 是等差数列, { }nb 是公比为 q 的等比数列, 1 1 2 2 1,a b a b a ,记 nS 为数列{ }nb 的前 n 项和, (1)若 ( ,k mb a m k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: 1 1( 1)kS m a ;(4 分) (2)若 3 (ib a i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列{ }nb 中每一项都是数列{ }na 中 的项;(8 分) (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列{ }nb 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的 值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4 分) 解:设{ }na 的公差为 d ,由 1 1 2 2 1,a b a b a ,知 0, 1d q , 1 1d a q ( 1 0a ) B A x y O C Q l P (1)因为 k mb a ,所以 1 1 1 11 1ka q a m a q , 1 1 1 1 2 1kq m q m m q , 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 11 k k a q a m m q S m aq q (2) 2 3 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q ,由 3 ib a , 所以 2 21 1 1 , 1 2 0,q i q q i q i 解得, 1q 或 2q i ,但 1q , 所以 2q i ,因为 i 是正整数,所以 2i 是整数,即 q 是整数,设数列{ }nb 中任意一项 为 1 1 n nb a q n N ,设数列{ }na 中的某一项 ma m N = 1 11 1a m a q 现在只要证明存在正整数 m ,使得 n mb a ,即在方程 1 1 1 11 1na q a m a q 中 m 有正整数解即可, 1 1 2 211 1 1 , 1 11 n n nqq m q m q q qq ,所以 2 22 nm q q q ,若 1i ,则 1q ,那么 2 1 1 1, 2 2 2n nb b a b b a ,当 3i 时,因为 1 1 2 2,a b a b ,只要考虑 3n 的情况,因为 3 ib a ,所以 3i ,因此 q 是正 整数,所以 m 是正整数,因此数列{ }nb 中任意一项为 1 1 n nb a q n N 与数列{ }na 的第 2 22 nq q q 项相等,从而结论成立。 (3)设数列{ }nb 中有三项 , , , , ,m n pb b b m n p m n p N 成等差数列,则有 2 1 1 1 1 1 1 ,n m pa q a q a q 设 , , ,n m x p n y x y N ,所 以 2 1 y x qq ,令 1, 2x y ,则 3 2 1 0,q q 21 1 0q q q ,因为 1q ,所以 2 1 0q q , 所 以 5 1 2q 舍去负值 , 即 存 在 5 1 2q 使 得 { }nb 中 有 三 项 1 3, ,m m mb b b m N 成等差数列。 21.(本小题满分 16 分)已知 , , ,a b c d 是不全为 0 的实数,函数 2( )f x bx cx d , 3 2( )g x ax bx cx d , 方 程 ( ) 0f x 有 实 根 , 且 ( ) 0f x 的 实 数 根 都 是 ( ( )) 0g f x 的根,反之, ( ( )) 0g f x 的实数根都是 ( ) 0f x 的根, (1)求 d 的值;(3 分) (2)若 0a ,求 c 的取值范围;(6 分) (3)若 1, (1) 0a f ,求 c 的取值范围。(7 分) 解 ( 1 ) 设 0x 是 0f x 的 根 , 那 么 0 0f x , 则 0x 是 ( ( )) 0g f x 的 根 , 则 0 0,g f x 即 0 0g ,所以 0d 。 (2)因为 0a ,所以 2 2,f x bx cx g x bx cx ,则 ( ( ))g f x f x bf x c = 2 2 2bx cx b x bcx c =0 的根也是 0f x x bx c 的根。 (a)若 0b ,则 0c ,此时 0f x 的根为 0,而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0,所以 0c , (b)若 0b ,当 0c 时, 0f x 的根为 0,而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0,当 0c 时, 0f x 的根为 0 和 c b ,而 0bf x c 的根不可能为 0 和 c b ,所以 0bf x c 必 无实数根,所以 2 24 0,bc b c 所以 2 4 0,0 4c c c ,从而 0 4c 所以当 0b 时, 0c ;当 0b 时, 0 4c 。 (3) 1, (1) 0a f ,所以 0b c ,即 0f x 的根为 0 和 1, 所以 22 2cx cx c cx cx c =0 必无实数根, (a)当 0c 时,t = 2cx cx = 21 2 4 4 c cc x ,即函数 2h t t ct c 在 4 ct , 0h t 恒成立,又 2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c ,所以 min 04 ch t h , 即 2 2 0,16 4 c c c 所以 160 3c ; (b)当 0c 时,t= 2cx cx = 21 2 4 4 c cc x ,即函数 2h t t ct c 在 4 ct , 0h t 恒成立,又 2 2 2 2 4 c ch t t ct c t c ,所以 min 02 ch t h , 2 4 cc 0 ,而 0c ,所以 2 4 cc 0 ,所以 c 不可能小于 0, (c) 0,c 则 0,b 这时 0f x 的根为一切实数,而 0g f x ,所以 0,c 符合 要求。 所以 160 3c 查看更多