江苏省盐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省盐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年江苏省盐城中学高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知命题p：“，”，则是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. ‎ 3. 两个数4和16的等比中项为 A. 8 B. C. 4 D. ‎ 4. 双曲线的渐近线方程是 A. B. C. D. ‎ 5. 设x，y均为正数，且，则xy的最大值为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 16‎ 6. 是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 求值：‎ A. B. C. D. 1010‎ 8. 若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则最大时n的值为 A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ 10. 若点P是以F为焦点的抛物线上的一个动点，B ，则的最小值为 A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ 11. 已知正数x，y满足，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，，则此数列的前100项的和 A. 296 B. ‎297 ‎C. 298 D. 299‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______．‎ 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．‎ 15. 已知数列满足，，则的最小值为______．‎ 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足，则椭圆离心率的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知p：，，q：，r：． 若命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围； 若q是r的必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点与点A重合． 求抛物线的标准方程； 若直线l过点A且斜率为双曲线的离心率，求直线l被抛物线截得的弦长． ‎ 2. 已知等比数列满足，． 求数列的通项公式； 若数列满足，求数列的前n项和． ‎ 3. 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站其中边EF在GH上，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知，且． 求y关于x的函数解析式； 如果中转站四周围墙造价为1万元，两条道路造价为3万元，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？‎ ‎ ‎ 4. 如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B． 求椭圆的标准方程； 若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q． 求直线PA与PB的斜率之积； 判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．‎ ‎ ‎ 1. 已知数列的前n项和． 求数列的通项公式； 设数列的前n项和为，满足，． 求数列的通项公式； 若存在p，q，，，使得，，成等差数列，求的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题：，的否定是： ，． 故选：D． 欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案． 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，，， 抛物线的准线方程为． 故选：A． 利用抛物线的基本性质，能求出抛物线的准线方程． 本题考查抛物线的简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：两个数4和16的等比中项为：． 故选：B． a，b的等比中项为． 本题考查两个数的等比中项的求法，考查等比中项等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：双曲线标准方程为， 其渐近线方程是， 整理得． 故选：A． 渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程． 本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，y均为正数，且， 则，当且仅当即，时取得最大值4． 故xy的最大值为1． 故选：A． 由基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：若，，，是的充分条件 若，，，不是的必要条件 是的充分不必要条件 故选A． 由，可得，反之若，则，故可得结论． 本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解： ． 故选：B． 利用等差数列的前n项和公式直接求解． 本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：，使得不等式成立， ，， ， 根据二次函数的性质可知，当时，， 则即． 故选：D． 由题意可得，，然后根据二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解及存在性问题与最值求解的相互转化属于基础试题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：等差数列的前n项和为，，， ，， ，， 最大时n的值为6． 故选：C． 推导出，，从而，，由此能求出最大时n的值． 本题考查等差数列的前n项和最大时项数n的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：如图， 过B作抛物线准线的垂线，交抛物线于P，垂足为D， 则的最小值为． 故选：B． 由题意画出图形，过B作抛物线准线的垂线，交抛物线于P，垂足为D，则BD的长度即为的最小值． 本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由正数x，y 满足， ， 由基本不等式可知，，当且仅当时取等号， ， 解不等式可得，， 故选：C． 由对数的运算性质可得，，然后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，， ，，同理可得：，． 则此数列的前100项的和． 故选：D． 在数列中，若对任意的n均有为定值，且，，，可得，因此，同理可得：利用周期性即可得出． 本题考查了数列递推关系、数列的周期性、求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有， 解可得：， 即m的取值范围是， 故答案为： 根据题意，由椭圆的标准方程分析列出不等式组，解可得m的取值范围，即可得答案． 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，关键是掌握二元二次方程表示椭圆的条件． 14.【答案】9 ‎ ‎【解析】解：根据题意，， 又由正实数a，b满足，则， 又由，当且仅当时等号成立， 则有，即的最小值为9； 故答案为：9 根据题意，分析可得，进而可得，结合基本不等式的性质分析可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ， ， ， ， 由累加法得， ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，且， 或5‎ 时最小，时，；时，； 故答案为：． 由累加法求出通项公式，再求解． 本题考查数列递推公式，以及求最值问题，属于中等题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：在中，由正弦定理知， 又在椭圆上，， 所以， 即， 解得， 故答案为： 利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围 本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 17.【答案】解：p：，，q：，r：， 根据二次函数的性质可知，的最小值， 故P：， 由可得，由，可得， 故q：，r：， 若命题p的否定是假命题，即p为真命题， 故a的范围， 若q是r的必要条件，则，从而有， ， 解可得，， 故m的范围． ‎ ‎【解析】由，，可知，结合二次函数的性质即可求解p，然后结合命题关系即可求解a的范围； 根据二次函数的解法可求q，r，然后由q是r的必要条件，则，结合集合的包含关系即可求解． 本题主要考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化及集合的包含关系与充分必要条件的转化，属于中档试题． 18.【答案】解：由双曲线，得， 抛物线的焦点即双曲线的右顶点A为， 则抛物线的标准方程为； 由双曲线方程可得，，，则直线l的斜率为2． 直线l的方程为，即． 联立，得． 直线l被抛物线截得的弦长为． ‎ ‎【解析】由双曲线方程求得抛物线的焦点坐标，则抛物线方程可求； 求出双曲线的离心率，得到直线的斜率，写出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解． 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查抛物线弦长公式的应用，是基础题． 19.【答案】解：设等比数列的公比为q ‎，，． ，， 解得， ． 由可得：． 数列的前n项和． ‎ ‎【解析】设等比数列的公比为q，由，可得，，解得q，，利用通项公式即可得出． 由可得：利用求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.【答案】解：，，． 在中，，， ，可得． 由于，得． 在中，根据余弦定理， 可得， 即，解得． 且，． 可得y关于x的函数解析式为，． 由题意，可得总造价． 令，则， 当且仅当，即时，M的最小值为49． 此时，． 答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低． ‎ ‎【解析】本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题． 根据题意得且，在中，然后在中利用余弦定理的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式； 由求出的函数关系式，结合题意得出总造价然后换元：令，化简得到，利用基本不等式算出当时，M的最小值为由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值． 21.【答案】解：椭圆过点的椭圆且离心率为 ， ， 把组成方程组，解得 ，， 椭圆的方程为． 由知，， 直线OD方程为， 点P在直线OD上，设， ． 设，， ， ， 把上面的两个等式相减，得 ， ， ， 联立直线AP ‎：与椭圆的方程得， ， ， ，， 联立直线BP：与椭圆的方程得， ， ，， ， ， ， 又因为， ， 直线AB与EQ是平行． ‎ ‎【解析】联立，，解得a，b，进而可写出椭圆方程． 直线OD方程为，点P在直线OD上，设，． 设，，，，把上面的两个等式相减，得，联立直线AP：与椭圆的方程得，，联立直线BP：与椭圆的方程得，，再化简即可得出结论． 本题考查直线与椭圆的相交问题，属于中档题 22.【答案】解：数列的前n项和． 当时，， 当时，， ． ， ， ． ， ， ， 把上面两式相减得，， ． 由，，成等差数列， 有， 即， 由于，且为正整数，所以，， 所以， 可得 ，， 当时，不等不成立； 当时，，，即，则有； 所以的最小值为7． ‎ ‎【解析】当时，，当时，，进而求出通项公式． 先分析进而得出，，再求出的通项公式． 由等差数列的中项性质和分类讨论，即可得到最小值． 本题考查了数列的前n项求和公式求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎