数学理卷·2017届江西省赣中南五校高三下学期第一次联考(2017

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数学理卷·2017届江西省赣中南五校高三下学期第一次联考(2017

江西省赣中南五所重点中学2017届高三第二次联考 高三数学试卷(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合,集合,则A∩BUCRC= ( )‎ ‎2. 设方程有两个不等的实根和,则( )‎ A.     B.     C.     D.‎ ‎4.已知双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,若双曲线C的一条渐近线与直线平行,则双曲线C的离心率为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎5.设,则的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎6.已知的最大值为A,若存在实数使得对任意实数总有成立,则的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎7.如图所示,在四边形中,,将沿折起,使得平面平面,构成四面体,则在四面体中,下列说法正确的是( )‎ ‎ A.平面平面 B.平面平面 C. 平面平面 D.平面平面 ‎8. 三棱柱的侧棱与底面垂直,,,是的中点,点在上,且满足,直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为(     )‎ A.        B.         C.          D.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎10. 等差数列的前项和分别为 , (      )‎ A.63    B.45        C.36        D.27‎ ‎11. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则(   )‎ A.         B.        C.       D. ‎ ‎12.已知,则的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 是函数在 上单调递增的__________(填“常用逻辑用语”)条件。‎ ‎14.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等?”意思是“今有蒲草第一天长高3尺,菀草第一天长高1尺。以后蒲草每天长高前一天的一半,而菀草每天长高前一天的2倍,问多少天蒲草和菀草高度相同?”根据上述已知条件,可求得第 天,蒲草和菀草高度相同.(已知,结果精确到)‎ ‎15. 已知,数列{}的前n项和为Sn, 数列{bn}的通项公式为=n-8,则的最小值为_________________.‎ ‎16. 已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线,则原来曲线C的方程是___ .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 江西景德镇某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的2017年新上市工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,.‎ ‎(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;‎ ‎(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎  (Ⅰ)若在上单调函数,求的取值范围;‎ ‎  (Ⅱ)若时,在上的最小值为,求的表达式.‎ ‎19.(本题满分12分)如图,在直三棱柱中,平面侧面,且 ‎ (1)求证:;‎ ‎ (2)若直线与平面所成的角为,请问在线段上是否存在点,使得二面角的大小为,请说明理由.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知抛物线:的准线为,焦点为,的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切,过原点作倾斜角为的直线,交于点,交于另一点,且 ‎(I) 求和抛物线的方程;‎ ‎(II) 过上的动点作的切线,切点为、,求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时,四边形的面积.‎ ‎21.(本题满分12分)设函数对恒成立.‎ ‎ (1)求的取值集合;‎ ‎ (2)求证:.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,),若直线过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4为半径。‎ ‎(I)求直线的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎(II)试判定直线与圆C的位置关系。‎ ‎23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小值m;‎ ‎(2)若正实数a,b满足,求证:.‎ 江西5所重点中学2017届高三第一次联考 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5ADAAA 6-10BDABD 11-12BB 二、填空题 ‎13、充分不必要 14、2.6 15、-4 16、xy = -1‎ 三、解答题 ‎17、解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件,,,‎ ‎(1)设表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 ‎.……………5分 ‎(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为,‎ 所以,‎ 故.……………12分 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件,则 ‎,‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 于是,.‎ ‎18、解:⑴,对称轴为.···1分 ‎    在上单调.或,····3分 ‎ 或.又,或 ‎.········5分 ‎   ⑵若,则,···6分 ‎    当,即时,.···8分 ‎    当,即时,.···10分 综上所述:.······12分 ‎19、(1)证明:连接交于点,‎ 因,则 由平面侧面,且平面侧面,‎ 得,又平面, 所以. ……2分 三棱柱是直三棱柱,则,所以. ……3分 又,从而侧面 ,又侧面,故.‎ ‎……5分 ‎(2)由(1),则直线与平面所成的角 所以,又,所以 ……7分 假设在线段上是否存在一点,使得二面角的大小为 由是直三棱柱,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则由,‎ ,得 ‎ 所以, 设平面的一个法向量,由, 得:‎ ,取 ……9分 由(1)知,所以平面的一个法向量 ‎……10分 所以,解得 ‎∴点为线段中点时,二面角的大小为 ……12分 ‎20、(1)准线L交轴于,在中所以,所以,抛物线方程是                         (3分)‎ 在中有,所以 所以⊙M方程是:                    (6分)‎ ‎(2)解法一   设 所以:切线;切线  (8分)‎ 因为SQ和TQ交于Q点所以 和成立                   ‎ 所以ST方程:                   (10分)‎ 所以原点到ST距离,当即Q在y轴上时d有最大值 此时直线ST方程是               (11分)‎ 所以 所以此时四边形QSMT的面积           (12分)‎ 说明:此题第二问解法不唯一,可酌情赋分.‎ ‎【注】只猜出“直线ST方程是”未说明理由的, 该问给2分 利用SMTQ四点共圆的性质,写出以QM为直径的圆方程的得2分 两圆方程相减得到直线ST方程  得4分;以后步骤赋分参照解法一.‎ ‎21、(1)依题意,函数的定义域为,所以方程在有两个不同根.即,方程在有两个不同根.‎ 转化为,函数与函数的图象在上有两个不同交点……2分 又,即时,,时,,‎ 所以在上单调增,在上单调减,从而.‎ 又有且只有一个零点是1,且在时,,在时,, ……4分 所以由的图象,要想函数与函数的图象在上有两个不同交点,只需,即 ……5分 ‎(2)由(1)可知分别是方程的两个根,即,,‎ 设,作差得,,即.‎ 原不等式等价于 ……7分 令,则,, ……9分 设,,,‎ ‎∴函数在上单调递增,∴,‎ 即不等式成立,故所证不等式成立. ……12分 ‎22、解:(1)直线的参数方程(上为参数)‎ ‎         M点的直角坐标为(0,4)  图C半径 ‎        图C方程        得 代入 ‎        得圆C极坐标方程    ………………………………5分 ‎(2)直线的普通方程为 ‎     圆心M到的距离为 ‎      ∴直线与圆C相离。  ………………………………………10分 ‎23. (1)m=2 (2)见解析 ‎ ‎
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