湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学（理）试题 Word版含解析

湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 武汉市2020届高中毕业生学习质量检测 理科数学 武汉市教育科学研究院命制 本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中．‎ ‎3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．‎ ‎5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．‎ ‎6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ）‎ A. B. C. 2 D. ﹣2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.‎ ‎【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，‎ 又因为z∈R，‎ 所以，‎ 解得a＝-2.‎ - 22 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（ ）‎ A. [﹣3，2） B. （﹣3，2） C. （﹣1，0] D. （﹣1，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.‎ ‎【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，‎ 又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，‎ 所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算概率得到答案.‎ ‎【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 根据题意得到，，解得答案.‎ ‎【详解】，，解得或（舍去）.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构依次进行，直至不符合，终止循环，输出 ‎【详解】第一次循环，，‎ 第二次循环，，‎ 第三次循环，，‎ 第四次循环，，‎ - 22 -‎ 第四次循环，，‎ 此时不满足，输出.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查程序框图中循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.‎ ‎6.已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，‎ 则 ‎.‎ 当，即时等号成立.‎ 故选：.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.‎ ‎7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.‎ ‎【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 因为，‎ 所以f（x）的最小值为.‎ 故选：A - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎8.已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（ ）‎ A. 2n B. n2 C. n+2 D. 3n -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.‎ ‎【详解】，故，即，‎ 即，，故为首项是，公差为的等差数列.‎ 故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.‎ ‎9.已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（ ）‎ A. ab>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.‎ ‎【详解】设，则，，，则，设，‎ 则，两式相减得到：，‎ - 22 -‎ ‎，，即，， ‎ ‎，故，即，故，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎12.已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据化简得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：.‎ 设，则，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.‎ 根据，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.‎ ‎【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.‎ 故双曲线方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.‎ ‎14.若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a取值范围为___．‎ ‎【答案】a≥﹣1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立 即在（0，）上恒成立 再求最大值即可.‎ ‎【详解】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，‎ 所以在（0，）上恒成立 ，‎ 即在（0，）上恒成立 ，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．‎ ‎【答案】9.14h.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有450，即450；两边平方并化简、整理求解.‎ ‎【详解】建立如图所示直角坐标系：‎ 设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．‎ 若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，‎ 即450，‎ 即450；‎ 两边平方并化简、整理得t2﹣20t+175＝0‎ ‎∴t或，‎ ‎ ‎ 所以时后码头将受到热带风暴的影响．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.‎ ‎【详解】球的表面积为，故，，故.‎ 的外接圆圆心为中点，；‎ 的外接圆圆心为三角形中心，.‎ 设球心为，则平面，平面，与交于点，‎ 易知为中点，连接，，易知，，‎ 故为二面角的平面角.‎ 故，，，.‎ ‎，故，，故.‎ 故，.‎ 故答案为：.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.‎ ‎（1）求A的余弦值；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.‎ ‎（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，‎ 即，故，，故.‎ ‎（2），故，故.‎ 当时等号成立.‎ - 22 -‎ ‎，故，，故△ABC面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥QL；‎ ‎（2）求点A到平面PQL的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作于，证明平面得到答案.‎ ‎（2）取中点，连接，利用等体积法计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：作于，易知为中点，为中点，故.‎ ‎，故平面，平面，故.‎ ‎，故平面，平面，故.‎ ‎（2）取中点，连接，易知，，故为矩形.‎ 故到平面的距离等于到平面的距离.‎ 故.‎ - 22 -‎ ‎，‎ ‎，即，故.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）‎ ‎（1）求抛物线Γ的方程；‎ ‎（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.‎ ‎（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML - 22 -‎ 的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x），代入化简求解.‎ ‎【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，‎ 所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；‎ ‎（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，‎ 直线MN的斜率kMN，‎ 则直线MN的方程为：y﹣y0（x），‎ 即y①，‎ 同理可得直线ML的方程整理可得y②，‎ 将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程 可得，消y0可得y1y2＝12，‎ 易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x），‎ 即yx，故yx，‎ 所以y（x+3），‎ 因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：‎ 且已知= 380.0‎ ‎（1）求第10年的年收入x10；‎ ‎（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程.‎ ‎（i）10年的销售额y10；‎ ‎（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）‎ 附加：（1）回归方程中，，.‎ ‎（2），，‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据计算得到答案.‎ ‎（2）利用公式计算得到，得到中心点，代入计算得到答案.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1），故.‎ ‎（2），即，‎ 解得，故，.‎ 将点代入回归方程得到：.‎ 故，当时，.‎ ‎【点睛】.‎ 本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.（1）证明函数在区间上单调递增；‎ ‎（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且 ‎【答案】（1）见解析 （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.‎ ‎（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.‎ ‎【详解】（1）对函数求导，得，‎ 因为任意的,有，且在区间上，‎ 所以 即，‎ - 22 -‎ 即函数在区间上单调递增.‎ ‎（2）对函数求导，得 ‎，‎ 令，则 当时，由（1）知，，则 故在上单调递减 而 由零点存在定理知：存在唯一的，使得，‎ 即 当时，，即，为增函数；‎ 当时，，即，为减函数.‎ 又当时，‎ 所以在上恒为减函数，‎ 因此有唯一的极大值点 由在上单调递减，‎ 故 即 - 22 -‎ 又当时，‎ 故 综上，函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且 ‎【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．‎ ‎（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．‎ ‎【答案】（1），（x﹣2）2+y2＝1；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由C1的参数方程为为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用转换为直角坐标方程.‎ ‎（2）设点P（5cosθ，4sinθ），根据点Q在圆上，先求点P到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.‎ ‎【详解】（1）曲线C1的参数方程为为参数），‎ - 22 -‎ 两式平方相加整理得．‎ 将代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．‎ 得x2+y2﹣4x+3＝0，‎ 整理得（x﹣2）2+y2＝1．‎ ‎（2）设点P（5cosθ，4sinθ）在曲线C1上，圆心O（2，0），‎ 所以：，‎ 当cosθ＝1时，|PO|min＝3，‎ 所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲] ‎ ‎23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．‎ ‎（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；‎ ‎（2）已知关于x的不等式f（x）在R上恒成立，求参数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值几何意义，去绝对值求解.‎ ‎（2）根据绝对值的零点有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1时三种情况分类讨论求解.‎ ‎【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，‎ ‎（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，‎ 此时不等式的解集[5，+∞）；‎ - 22 -‎ ‎（ii）当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9‎ 此时不等式的解集∅；‎ ‎（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x，‎ 此时不等式的解集（∞，]，‎ 综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，‎ ‎（2）（i）当a﹣1即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|2显然不恒成立，‎ ‎（ii）当a﹣1即a＞2时，，‎ 结合函数的单调性可知，当x时，函数取得最小值f（），‎ 若f（x）在R上恒成立，则，此时a不存在，‎ ‎（iii）当a﹣1即a＜2时，f（x）‎ 若f（x）在R上恒成立，则1，‎ 解得﹣2≤a≤1，‎ 此时a的范围[﹣2，1]，‎ 综上可得，a的范围围[﹣2，1]．‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎