黑龙江省哈三中2020届三模文科数学及答案

黑龙江省哈三中2020届三模文科数学及答案

文科数学试卷 第 1页 共 4 页 2020 年高三学年模拟考试 数学试卷（文史类） 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 设集合 { | 2 8}xA x  ，集合  { | lg 1 }B x y x   ，则 A B  A． 1,3 B． 1,3 C． 1, D． 3, 2． 在复平面内，复数 1 2 i i 对应点位于 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象 限 3． 下列函数中，既是偶函数，又在  ,0 上单调递增的是 A．   2f x x B．   2 xf x  C．   2 1log 1f x x   D．   2f x x  4． 数列 2 1na      是等差数列，且 1 1a  ， 3 1 3a   ，那么 5a  A． 3 5 B． 3 5  C．5 D． 5 5． 函数 ( ) xf x xe 在 1x  处的切线方程是 文科数学试卷 第 2页 共 4 页 A． 2 0ex y e   B． 2 3 0ex y e   C． 2 0ex y e   D． 2 3 0ex y e   6． 在区间 2 3, 2 3   上随机取一个数 k ，则直线 4y kx  与圆 2 2 4x y  有两个不同公共点 的概率为 A． 1 3 B． 3 6 C． 1 4 D． 1 2 7．有一散点图如图所示，在 5 个 ( , )x y 数据中去掉 (3,10)D 后，下列说法正确的是 A．残差平方和变小 B．相关系数 r 变小 C．相关指数 2R 变小 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱 8． “克拉茨猜想” 又称“ 3 1n  猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家 大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 为奇 数就将它乘 3 加 1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到 1，得到 1 即终止运算，己知正整数m 经过 5 次运算后得到 1，则m 的值为 A．32 或 5 B．32 或 5 或 4 C．16 D．16 或 2 9． 某程序框图如图所示，若输入的 a 、b 分别为 5、3，则输出的 n  A． 2 B．3 C．4 D．5 10． 已知 1 2F F、 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右焦点， P 为 y 轴上一点，Q 为左支上一点，若 2 2( ) 0OP OF PF     且 2PF Q 周长最 小值为实轴长的 3 倍，则双曲线C 的离心率为 A． 2 B． 3 C． 2 D．2 2 • • • • • A(1,3) B(2,4) C(4,5) D(3,10) E(10,12)y xO 是 bb 2 否 开始 结束 ?ba  1 nn 输出 n 1n 2 aaa  ba,输入 文科数学试卷 第 3页 共 4 页 2 2 O 12 5π 12 11π x y 11． 已知数列 na ， 2 sin 2n na n  ，则数列 na 的前 100 项和为 A．5000 B． 5000 C ． 5050 D． 5050 12． 已知 ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足： sin sinAB B AC C AQ    ， 且 1 2AH AC  ，则 BH  A． 4 7 7 B． 4 7 C． 4 3 3 D．2 7 二、 填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 若 2sin 4 5      ，则 sin 2  ． 14． 已知 aR ，命题“存在 xR ，使 2 3 0x ax a   ”为假命题，则 a 的取值范围 为 ． 15． 直线l 过抛物线 2: y 2 ( 0)C px p  的焦点 F ，交抛物线C 于点 A （点 A 在 x 轴上方）， 过点 A 作直线 2 px   的垂线，垂足为 M ，若垂足 M 恰好在线段 AF 的垂直平分线上， 则直线l 的斜率为 ． 16． 在三棱锥 S ABC 中， 2, 2, 2 2, 2AB BC AC SB    ， SB 面 ABC ，则三棱 锥 S ABC 的外接球半径为 ，三棱锥 S ABC 的内切球半 径为 ． 三、 解答题: 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共 60 分． 17． 函数     π πsin 0 0 2 2              ， ，f x A x A 的部分图象如图所示． 文科数学试卷 第 4页 共 4 页 （1） 求函数 ( )f x 的解析式； （2） 若 2 6( ) 3f x  ，且 3 2 4x   ，求cos2x ． 18． 如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， 2PA  ， PA  底面 ABC ，点 ,E F 分别为 AC ， PC 的中点． （1） 求证：平面 BEF  平面 PAC ； （2） 在线段 PB 上是否存在点G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 6 ？ 若存在，确定点G 的位置； 若不存在，请说明理由． 19． 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机 调查了某中学高三某班 6名学生每周课下钻研数学时间 x （单位：小时）与高三下学期期中 考试数学解答题得分 y ，数据如下表： x 2 4 6 8 10 12 y 30 38 44 48 50 54 （1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分 y 与该学生课下钻研数学时间 x 的线性回 归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7 小时其数学考试中的解答题得分； （2） 从这 6人中任选 2 人，求这 2 人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8 小时的概率. 参考公式： ˆˆ ˆy bx a  ，其中      1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                ， ˆˆa y bx  参考数据： 6 1 2008i i i x y   ， 6 2 1 364i i x   ， 44y  P A G F B E C 文科数学试卷 第 5页 共 4 页 20． 函数 2( 1)= ln 1 xf x x x   （ ） （1） 求证：函数 f x（ ）在(0, ) 上单调递增； （2） 若 ,m n 为两个不等的正数，求证 ln lnm n m n   2 m n ． 21． 已知椭圆 2 2 2 2: + 1( 0)x yC a ba b    的离心率为 2 2 ，且以原点为圆心，以短轴长为直径 的 圆 1C 过点 1,0 ． （1） 求椭圆C 的标准方程； （2） 若过点 M  2,0 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,A B ，且与圆 1C 没有公共点，设 G 为椭圆C 上一点，满足 ( )OA OB tOG    （O 为坐标原点），求实数t 的取值范 围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 21 2 2 2 x t y t       （t 为参数），以原 点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 = 4cos  ， 直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点． （1） 写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2） 若 ( 1,0)P  ，求 1 1 AP BP  的值． 文科数学试卷 第 6页 共 4 页 23． 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1f x x a x    和函数   2 1xg x    . （1） 当 2a  时，求关于 x 的不等式 ( ) 1f x   的解集； （2） 若对任意 1x R ，都存在 2x R ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，求实数 a 的取值范围． 文科数学试卷 第 7页 共 4 页 2020 年高三学年模拟考试 数学试卷（文史类）参考答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D B A D A A A C B D 二、填空题： 13. 17 25  ； 14.  12,0 ； 15. 3 ； 16. 10 2 ， 4 2 7  . 三、解答题： 17. （1）由图像可知 2, 2A   ……….3 分 代入点 5 ,212      ，得   2sin 2 3f x x      ………6 分 （2） 由题意知 2 723 3 6x     ………8 分 3 3 2cos 2 cos 2 3 3 6x x           ………12 分 18. （1）因为 PA  底面 ABC ， BE  底面 ABC 所以 PA BE ， ……….2 分 又因为 BE AC ， PA AC AI 所以 BE  平面 PAC , …….. 4 分 因为 BE  平面 BEF ，所以平面 BEF  平面 PAC ………… 5 分 （2）过 G 作GH AB PA  面 ABC，面 PAB  面 ABC 文科数学试卷 第 8页 共 4 页 又面 PAB 面 ABC=AB， GH  面 ABC ………… 7 分 3 6B AEG G ABEV V   ， 1 3 3 6ABEGH S   且 3 2ABES  ， ………… 9 分 1GH  ， ………… 11 分 G 为 PB 中点 ………… 12 分 19.（1） 7x  ………… 1 分 16 7  ………… 4 分 a y bx $ $ 28 16ˆ 287y x   …………5 分 当 7x  时， ˆ 44y  …………6 分 （2）设“这 2 人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8 小时为事件 A” ………7 分 所有基本事件如下： （2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），      1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                文科数学试卷 第 9页 共 4 页 （4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12） 共 15 个基本事件 …………… 9 分 事件 A 包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8）， （6，10） （6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共 12 个基本事件 ………… 11 分 所以 12 4( ) 15 5P A   ………… 12 分 20. （1） 2 2 2 1 4 ( 1) 0( 1) ( 1) xf x x x x x      （ ）= ………………………………………………………3 分  f x（ ）在(0, ) 上单调递增 ……………………………………………………….5 分 （2）不妨设 m n ln lnm n m n   2-m n = 1 2ln -m-n m m n n m n      （ ） 2 11 ln -m-n 1 m m n mn n         （ ） 令 1m tn   ，设 2 -1( ) ln - 1 th t t t   （ ）， ……………………………….7 分 ( ) ( )h t f t 由（1）知在(0, ) 上单调递增， (1) 0, 1 ( ) 0h t h t    ，…………….10 分 又 m n ， ln lnm n m n   2 m n   ， …………………………………12 分 文科数学试卷 第 10页 共 4 页 21．（1）依题意： 1, 2b a  …………….2 分 所以椭圆方程为 2 2 1.2 x y  ………………..4 分 （2）由题意直线 AB 斜率不为 0，设直线 AB ： 2x ny  2 2 2 12 x ny x y     得 2 2(2 ) 4 2 0.n y ny    由 28 16 0n    得 2 2n  ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 由韦达定理 1 2 1 22 2 4 2, .2 2 ny y y yn n     ……………6 分 因为OA OB tOG    ，所以 2 2 8 4( , )(2 ) (2 ) nG t n t n    因为 G点 在椭圆上 2 2 2 2 2 2 2 64 2 16 2(2 ) (2 ) n t n t n     得 2 2 16 2t n   …………8 分 直线与圆没有公共点，则 2 2 1 1 n   ，所以 22 3n  ………….10 分 4 5 4 5( 2, ) ( ,2).5 5t     ………….12 分 22. （1）直线的直角方程为 1 0x y   ， ……….2 分 曲线的直角坐标方程  2 2: 2 4C x y   ……….4 分 文科数学试卷 第 11页 共 4 页 （2）直线的参数方程可化为   21 2 2 2 x t t y t       为参数 ……….6 分 代入曲线可得 2 2 3 0t t   ……….8 分 所以 1 2 1 2 1 1 14 3 t t AP BP t t    ……….10 分 23. （1） 2a  时， 当 2x   时， ( ) 3f x   1  ， x 无解； ……………1 分 当 2 1x   时， ( ) 2 1 1f x x    ， 1 1x   ； ……………2 分 当 1x  时， ( ) 3 1f x    恒成立， 1x  ； ……………3 分 综上， ( ) 1f x   的解集为 1x x   . ……………5 分 （2）    ( ) 1 1 1f x x a x x a x a          ， ……………6 分  ( ) 2 1 ,1xg x      ， ……………7 分 由题意知， ( )f x 的值域是 ( )g x 的值域的子集，即 1 1a   ， ……………9 分 a实数 的取值范围为 2 0a   . ……………10 分