数学卷·2018届广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是（　　）‎ A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C． D．ad＞bc ‎3．满足条件的△ABC的个数是（　　）‎ A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个 ‎4．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点，那么（　　）‎ A．D=0，E≠0，F≠0 B．E=F=0，D≠0 C．D=F=0，E≠0 D．D=E=0，F≠0‎ ‎5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎6．如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（　　）‎ A．8 B．6 C．3 D．4‎ ‎8．已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22 取最小值时，实数m的值是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣1‎ ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9．空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2，3，4），则|AB|=　　．‎ ‎10．数列，…的一个通项公式是　　．‎ ‎11．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=ax+a﹣x（a＞0，且a≠1），若f（1）=3，则f（2）=　　．‎ ‎13．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则弦长EF=　　．‎ ‎14．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）‎ ‎15．已知函数f（x）=[sin（+x）﹣sinx]2+m．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若f（x）的最大值为3，求m的值．‎ ‎16．如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．‎ ‎（1）求AB所在直线的一般式方程；‎ ‎（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．‎ ‎17．如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．‎ ‎（1）求证：AB⊥CD；‎ ‎（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．‎ ‎18．已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．‎ ‎19．已知圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，直线l：x+my=3．‎ ‎（1）若l与C相切，求m的值；‎ ‎（2）是否存在m值，使得l与C相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点），若存在，求出m，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30．数列{bn}满足b1=0，bn=2bn﹣1+1，（n∈N，n≥2），‎ ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②设Cn=bn+1，求证：{Cn}是等比数列，且{bn}的通项公式；‎ ‎③设数列{dn}满足，求{dn}的前n项和为Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是（　　）‎ A．a﹣c＜b﹣d B．ac＞bd C． D．ad＞bc ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质，在所给的两个不等式两边同乘以﹣1，得到两个大于零的不等式，同向不等式相乘得到结论．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，c＜d＜0，‎ ‎∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，‎ ‎∴ac＞bd 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．满足条件的△ABC的个数是（　　）‎ A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形解的判定方法：即bsinA＜a＜b，此三角形由两解．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=3，‎ ‎∴，即bsinA＜a＜b．‎ 因此，此三角形由两解．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点，那么（　　）‎ A．D=0，E≠0，F≠0 B．E=F=0，D≠0 C．D=F=0，E≠0 D．D=E=0，F≠0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为： +=．可得圆心，半径r=．根据圆与x轴切于原点，即可得出．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为： +=．‎ 圆心，半径r=．‎ ‎∵圆与x轴切于原点，‎ ‎∴=0，F=0，≠0，r＞0，‎ 解得D=F=0，E≠0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．‎ ‎【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；‎ C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．‎ D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．‎ B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状，直接判定选项即可．‎ ‎【解答】解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，‎ 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，‎ CC′必为虚线，排除B，C，‎ ‎3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．‎ 故选D ‎　‎ ‎7．已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（　　）‎ A．8 B．6 C．3 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵点（x，y）在直线x+2y=3上移动，∴x+2y=3．‎ ‎∴2x+4y≥=2==4，当且仅当x=2y=时取等号．‎ ‎∴2x+4y的最小值是4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22 取最小值时，实数m的值是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣1‎ ‎【考点】函数的零点；基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得判别式△≥0，求得 m≥2，或m≤﹣1．化简x12+x22 的解析式为﹣，再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得 x1+x2=m，x1•x2=，△=16m2﹣16（m+2）≥0，∴m≥2，或m≤﹣1．‎ 当x12+x22=﹣2x1•x2=m2﹣=﹣取最小值时，有m=﹣1，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9．空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2，3，4），则|AB|=　3　．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：因为空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2，3，4），‎ 所以|AB|==3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎10．数列，…的一个通项公式是　　．‎ ‎【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列，‎ 且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴此数列的一个通项公式是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为　810　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】先分别求出130～140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频率的比值等于人数的比值，求出所求即可．‎ ‎【解答】解：130～140分数段的频率为0.05，‎ ‎90～100分数段的频率为0.45，‎ 故90～100分数段的人数为9×90=810．‎ 故答案为：810‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=ax+a﹣x（a＞0，且a≠1），若f（1）=3，则f（2）=　7　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由f（1）=3得到a+a﹣1=3，平方后整理即可得到f（2）的值．‎ ‎【解答】解：由f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3得，‎ a+a﹣1=3，‎ 所以a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=9﹣2=7．‎ 故答案为7．‎ ‎　‎ ‎13．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则弦长EF=　4　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长．‎ ‎【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2=9，得到圆心坐标为（2，﹣3），半径r=3，‎ ‎∵圆心（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==，‎ ‎∴弦EF=2=4．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎14．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是　4π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】通过正方体的表面积，先求球的内接正方体的棱长，再求正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求其体积．‎ ‎【解答】解：设正方形的棱长为a，‎ ‎∵球的内接正方体的表面积为24，‎ 即6a2=24，∴a=2，‎ 所以正方体的棱长是：2‎ 正方体的对角线2，所以球的半径R是 ‎ 所以球的体积： R3=（）3=4π，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，解答题应写出文字说明，演算步骤或推证过程）‎ ‎15．已知函数f（x）=[sin（+x）﹣sinx]2+m．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若f（x）的最大值为3，求m的值．‎ ‎【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】先对原函数进行整理得到f（x）=1﹣sin2x+m；‎ ‎（1）直接代入周期计算公式即可；‎ ‎（2）直接把sin2x=﹣1代入即可求出结论．‎ ‎【解答】解：因为f（x）=（cosx﹣sinx）2+m…‎ ‎=cos2x+sin2x﹣2cosx•sinx+m…‎ ‎=1﹣sin2x+m…‎ ‎（1）f（x）的最小正周期为T==π． …‎ ‎（2）当sin2x=﹣1时f（x）有最大值为2+m，…‎ ‎∴2+m=3，‎ ‎∴m=1．…‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．‎ ‎（1）求AB所在直线的一般式方程；‎ ‎（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；‎ ‎（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：KAB=KOC==3．‎ ‎∴AB所在直线方程是y﹣0=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．‎ ‎（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），‎ 由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），‎ ‎∵M是线段CD的中点，∴x=，y=，‎ 于是有x0=2x﹣1，y0=2y﹣3，‎ ‎∵点D在线段AB上运动，‎ ‎∴3x0﹣y0﹣9=0，（3≤x0≤4），‎ ‎∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9=0‎ 即6x﹣2y﹣9=0，（2≤x≤）．‎ ‎　‎ ‎17．如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．‎ ‎（1）求证：AB⊥CD；‎ ‎（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC，利用线面垂直的性质，可得DC⊥AB；‎ ‎（2）过C作CE⊥AB于E，连接ED，可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角．设CD=a，则BC==，从而EC=BCsin60°=，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，‎ ‎∴DC⊥平面ABC，‎ 又AB⊂平面ABC，‎ ‎∴DC⊥AB．…‎ ‎（2）解：过C作CE⊥AB于E，连接ED，‎ ‎∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，‎ ‎∴AB⊥平面ECD，‎ 又DE⊂平面ECD，∴AB⊥ED，‎ ‎∴∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角，…‎ 设CD=a，则BC==，‎ ‎∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴EC=BCsin60°=，‎ 在Rt△DEC中，tan∠DEC=．…‎ ‎　‎ ‎18．已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根据S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD 运算求得结果．‎ ‎（Ⅱ）取SD中点P，利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形，可得MN∥AP．再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．‎ 又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，‎ ‎∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．‎ 又∵SB=a，∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD ‎=．‎ ‎（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=CD，且NP∥CD．‎ 又AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形．‎ ‎∴MN∥AP，而AP⊂平面SAD，MN不在平面SAD内，∴MN∥平面SAD． ‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，直线l：x+my=3．‎ ‎（1）若l与C相切，求m的值；‎ ‎（2）是否存在m值，使得l与C相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点），若存在，求出m，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，求得圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径来求解．‎ ‎（Ⅱ）先假设存在m，由圆的方程和直线方程联立由韦达定理分别求得x1x2，y1y2由，求解，然后，再由判别式骓即可．‎ ‎【解答】解：（1）由圆方程配方得（x+1）2+（y﹣3）2=9，‎ 圆心为C（﹣1，3），半径为r=3，‎ 若l与C相切，则得=3，‎ ‎∴（3m﹣4）2=9（1+m2），‎ ‎∴m=．‎ ‎（2）假设存在m满足题意．‎ 由x2+y2+2x﹣6y+1=0，x=3﹣my 消去x得（m2+1）y2﹣（8m+6）y+16=0，‎ 由△=（8m+6）2﹣4（m2+1）•16＞0，得m＞，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2=，y1y2=．‎ ‎=x1x2+y1y2‎ ‎=（3﹣my1）（3﹣my2）+y1y2‎ ‎=9﹣3m（y1+y2）+（m2+1）y1y2‎ ‎=9﹣3m•+（m2+1）•‎ ‎=25﹣=0‎ ‎24m2+18m=25m2+25，m2﹣18m+25=0，‎ ‎∴m=9±2，适合m＞，‎ ‎∴存在m=9±2符合要求．‎ ‎　‎ ‎20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30．数列{bn}满足b1=0，bn=2bn﹣1+1，（n∈N，n≥2），‎ ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②设Cn=bn+1，求证：{Cn}是等比数列，且{bn}的通项公式；‎ ‎③设数列{dn}满足，求{dn}的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】①等差数列{an}中，依题意，解关于首项a1与公差d的方程组，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎②可求得=2（n≥2，n∈N），c1=b1+1=1，从而可确定{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得{bn}的通项公式；‎ ‎③通过裂项法可求得dn=（﹣）+2n﹣1﹣1，再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn．‎ ‎【解答】解：①由a2=a1+d=4，S5=5a1+d=30得：a1=2，d=2，‎ ‎∴an=2+2（n﹣1）=2n…‎ ‎②∵bn=2bn﹣1+1，cn=bn+1，‎ ‎∴===2（n≥2，n∈N）‎ ‎∴{cn}是以2为公比的等比数列．‎ 又∵c1=b1+1=1，‎ ‎∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1，‎ ‎∴bn=2n﹣1﹣1…‎ ‎③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=（﹣）+2n﹣1﹣1，‎ ‎∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]+（1+2+22+…+2n﹣1）﹣n ‎=（1﹣）+﹣n ‎=2n﹣n﹣‎ ‎　‎