高考数学一轮复习核心素养测评四十四9-2空间图形的基本关系与公理文含解析北师大版

高考数学一轮复习核心素养测评四十四9-2空间图形的基本关系与公理文含解析北师大版

核心素养测评四十四　空间图形的基本关系与公理 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.在下列命题中,不是公理的是 (　　)‎ A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.‎ ‎2.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　)‎ A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选A.若直线a和直线b相交,设交点为P,因为a⫋α,所以P∈α,因为bβ,所以P∈β,所以P是平面α,β的公共点,所以平面α,β相交.若平面α,β相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.‎ 所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ ‎3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 (　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,‎ 在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,即EF与CD所成角为30°.‎ ‎4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 (　　)‎ A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 ‎【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.‎ ‎5.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是 (　　)‎ A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 ‎【解析】选D.连接B‎1C,B1D1,则点M是B‎1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D1,‎ 因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,‎ 所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.‎ 又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.‎ ‎6.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个说法:‎ ‎①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.‎ 其中正确的个数是 世纪金榜导学号(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.将平面展开图还原成正方体(如图所示).‎ 对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;‎ 对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;‎ 对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;‎ 对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,∠AOC=120°,∠A1O1B1=60°,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B‎1C与AA1所成的角的大小是　　　　　　. ‎ ‎【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1∥AA1,所以∠BB‎1C为直线B‎1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=,‎ ‎∠AOC=,所以∠BOC=,‎ 所以△BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB‎1C=1,所以直线B‎1C与AA1所成角的大小为45°.‎ 答案:45°‎ ‎8.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成　　　　部分. ‎ ‎【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7部分.‎ 答案:7‎ ‎9.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A‎1M与DN所成的角的大小是　　　　. ‎ ‎【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.‎ 所以∠A1MK为异面直线A‎1M与DN所成的角.连接A‎1C1,AM.设正方体的棱长为4,则A1K==,‎ MK=DN==,A‎1M==6,‎ 所以A‎1M2‎+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90°.‎ 答案:90°‎ ‎10.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:‎ ‎①若a∥b,b∥c,则a∥c;‎ ‎②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;‎ ‎③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;‎ ‎④若a平面α,b平面β,则a,b一定是异面直线;‎ ‎⑤若a,b与c成等角,则a∥b.‎ 上述命题中正确的命题是　　　　(只填序号). 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】由公理4知①正确;‎ 当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;‎ 当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;‎ aα,bβ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;‎ 当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.‎ 答案:①‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,) B.(0,)‎ C.(1,) D.(1,)‎ ‎【解析】选A.如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a>0.取CD中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE==,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2×>a,解得0

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