2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练26 平面向量的概念及线性运算

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2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练26 平面向量的概念及线性运算

课时分层训练(二十六) 平面向量的概念及线性运算 ‎(对应学生用书第250页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是(  )‎ A.①    B.③‎ C.①③ D.①②‎ A [根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.]‎ ‎2.(2018·武汉调研)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(  ) ‎ ‎【导学号:79140147】‎ A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|‎ C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|≥|λ|a C [A中,当λ<0时,a与-λa方向相同,故A不正确;B中,当-1<λ<1时,|-λa|<|a|,故B不正确;C中,因为λ2>0,所以a与λ2a方向相同,故C正确;D中,向量不能比较大小,故D不正确,故选C.]‎ ‎3.(2017·广东东莞二模)如图411所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是(  )‎ 图411‎ A.c=b-a B.c=2b-a C.c=2a-b D.c=a-b A [因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a,故选A.]‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(  )‎ A.a⊥b B.|a|=|b|‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ A [法一:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2.‎ ‎∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.‎ ‎∴a·b=0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 法二:在▱ABCD中,设=a,=b,‎ 由|a+b|=|a-b|知||=||,‎ 从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.故选A.]‎ ‎5.(2017·河南中原名校4月联考)如图412所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=(  )‎ 图412‎ A.    B. C.1    D. A [=+=+=+(+)=-,所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=,故选A.]‎ 二、填空题 ‎6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+=+,则四边形ABCD的形状为________.‎ 平行四边形 [由+=+得-=-,‎ 所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.]‎ ‎7.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.‎  [∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b),‎ 即λa+b=ta+2tb,∴解得]‎ ‎8.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________. ‎ ‎【导学号:79140148】‎  - [∵=2,∴=.‎ ‎∵=,∴=(+),‎ ‎∴=-=(+)- ‎=-.‎ 又=x+y,∴x=,y=-.]‎ 三、解答题 ‎9.如图413,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.‎ 图413‎ ‎[解] =(+)=a+b.‎ =+=+=+(+)‎ ‎=+(-)‎ ‎=+ ‎=a+b.‎ ‎10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.‎ ‎(1)求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.‎ ‎[解] (1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,‎ ‎∵=2e1-8e2,∴=2.‎ 又∵与有公共点B,‎ ‎∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)由(1)可知=e1-4e2,‎ ‎∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,‎ ‎∴=λ(λ∈R),‎ 即3e1-ke2=λe1-4λe2,‎ 即解得k=12.‎ B组 能力提升 ‎11.(2017·河北衡水中学三调考试)在△ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为(  ) ‎ ‎【导学号:79140149】‎ A.-4 B.-1‎ C.1 D.4‎ B [根据题意设=n(n∈R),则=+=+n=+n(-)=+n=(1-n)+,又=m+,∴解得故选B.]‎ ‎12.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(  )‎ A.3   B.4 C.5    D.6‎ B [如图,∵D为AB的中点,则=(+),又++2=0,‎ ‎∴=-,∴O为CD的中点,‎ 又∵D为AB中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.]‎ ‎13.(2017·辽宁大连高三双基测试)如图414,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 图414‎  [因为AB=2,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1.因为BC=3,所以BH=BC.‎ 因为点M为AH的中点,所以==(+)==+,又=λ+μ,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.]‎ ‎14.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R). ‎ ‎【导学号:79140150】‎ ‎(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.‎ ‎[证明] (1)若m+n=1,‎ 则=m+(1-m) ‎=+m(-),‎ ‎∴-=m(-),‎ 即=m,∴与共线.‎ 又∵与有公共点B,‎ ‎∴A,P,B三点共线.‎ ‎(2)若A,P,B三点共线,‎ 则存在实数λ,使=λ,‎ ‎∴-=λ(-).‎ 又=m+n.‎ 故有m+(n-1)=λ-λ,‎ 即(m-λ)+(n+λ-1)=0.‎ ‎∵O,A,B不共线,∴,不共线,‎ ‎∴∴m+n=1.‎
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