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文档介绍
2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练26 平面向量的概念及线性运算
课时分层训练(二十六) 平面向量的概念及线性运算 (对应学生用书第250页) A组 基础达标 一、选择题 1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② A [根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.] 2.(2018·武汉调研)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( ) 【导学号:79140147】 A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|≥|λ|a C [A中,当λ<0时,a与-λa方向相同,故A不正确;B中,当-1<λ<1时,|-λa|<|a|,故B不正确;C中,因为λ2>0,所以a与λ2a方向相同,故C正确;D中,向量不能比较大小,故D不正确,故选C.] 3.(2017·广东东莞二模)如图411所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是( ) 图411 A.c=b-a B.c=2b-a C.c=2a-b D.c=a-b A [因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a,故选A.] 4.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| A [法一:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2. ∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b. ∴a·b=0.∴a⊥b. 故选A. 法二:在▱ABCD中,设=a,=b, 由|a+b|=|a-b|知||=||, 从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.故选A.] 5.(2017·河南中原名校4月联考)如图412所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( ) 图412 A. B. C.1 D. A [=+=+=+(+)=-,所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=,故选A.] 二、填空题 6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+=+,则四边形ABCD的形状为________. 平行四边形 [由+=+得-=-, 所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.] 7.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________. [∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b), 即λa+b=ta+2tb,∴解得] 8.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________. 【导学号:79140148】 - [∵=2,∴=. ∵=,∴=(+), ∴=-=(+)- =-. 又=x+y,∴x=,y=-.] 三、解答题 9.如图413,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,. 图413 [解] =(+)=a+b. =+=+=+(+) =+(-) =+ =a+b. 10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值. [解] (1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ∵=2e1-8e2,∴=2. 又∵与有公共点B, ∴A,B,D三点共线. (2)由(1)可知=e1-4e2, ∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线, ∴=λ(λ∈R), 即3e1-ke2=λe1-4λe2, 即解得k=12. B组 能力提升 11.(2017·河北衡水中学三调考试)在△ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为( ) 【导学号:79140149】 A.-4 B.-1 C.1 D.4 B [根据题意设=n(n∈R),则=+=+n=+n(-)=+n=(1-n)+,又=m+,∴解得故选B.] 12.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 B [如图,∵D为AB的中点,则=(+),又++2=0, ∴=-,∴O为CD的中点, 又∵D为AB中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.] 13.(2017·辽宁大连高三双基测试)如图414,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________. 图414 [因为AB=2,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1.因为BC=3,所以BH=BC. 因为点M为AH的中点,所以==(+)==+,又=λ+μ,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.] 14.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R). 【导学号:79140150】 (1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线; (2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1. [证明] (1)若m+n=1, 则=m+(1-m) =+m(-), ∴-=m(-), 即=m,∴与共线. 又∵与有公共点B, ∴A,P,B三点共线. (2)若A,P,B三点共线, 则存在实数λ,使=λ, ∴-=λ(-). 又=m+n. 故有m+(n-1)=λ-λ, 即(m-λ)+(n+λ-1)=0. ∵O,A,B不共线,∴,不共线, ∴∴m+n=1.查看更多