- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-4复数练习苏教版
5.4 复数 考点一 复数的概念 1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b= ( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 2.(2020·淮安模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为 ( ) A.1 B.2 C. D. 3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则= ( ) A. B. C. D. 4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是________. 【解析】1.选C.由+=1, 得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2, 即(a+b)+(a-b)i=2,则.所以a+b=2. 2.选C.因为==+i为实数,所以2a-1=0,即a=. 3.选B.由(2-i)·z=1, - 8 - 得z===+i, 所以===. 4.设z=a+bi(a,b∈R), 由|z|-=,得-a+bi=, 所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2. 答案:-2 关于复数的概念 (1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念. (2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题. 考点二 复数的几何意义 【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为 ( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 2.(2020·郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为________. 3.(2019·徐州模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=________. 【解题导思】 序号 联想解题 1 由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y) 2 由与虚轴垂直想到点A,B对应的复数虚部相等 - 8 - 3 由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹 【解析】1.选C.依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i. 2.z1===-i,所以A, 因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,所以z2的虚部为-. 答案:- 3.由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部. 如图: |z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离, 则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4. 答案:4 关于复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化. (2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆. 1.已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第________象限,复数z对应点的轨迹是________. 【解析】令z=x+yi(x,y∈R), - 8 - x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3, y=-(a2-2a+2)=-[(a-1)2+1]≤-1,且x+y=2(x≥3,y≤-1),故复数z所对应的点在第四象限,z对应点的轨迹为一条射线. 答案:四 一条射线 2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是 ( ) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选B.===1+i.对应的点与原点的距离是=. 考点三 复数的四则运算 命题 精解 读 考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题. (2)考查数学运算、直观想象的核心素养. 怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题. 新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题. 学霸 好方 法 1.关于复数的四则运算及应用 熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几何意义解决相关的问题. 2.交汇问题 与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决 复数四则运算的综合应用 【典例】若z=1+2i,则= ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i, - 8 - 所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i. 复数混合运算应注意什么? 提示:分清运算层次,逐层进行运算. 复数四则运算的几何意义 【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限. 向量、复数的运算、点的坐标怎样关联? 提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量. 复数四则运算的交汇问题 【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ+icos 2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 8 - 【解析】选C.因为复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以,即sin θ=,cos θ=-(θ为第二象限角).则cos 2θ=1- 2sin2θ=1-2×=. 所以cos θ+icos 2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限. 本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识? 提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式. 1.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________. 【解析】由i·z=1+2i,得z==2-i,所以z的实部为2. 答案:2 2.(2019·闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=________. 【解析】由题意,z1=i,z2=2-i, - 8 - 所以====5. 答案:5 3.(2020·人大附中模拟)复数z满足=2-i(i为虚数单位),则z的模是________. 【解析】因为=2-i, 所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i, 所以|z|==5. 答案:5 1.(2020·商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数z=________. 【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0, 所以z==-1. 答案:-1 2.(2019·杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若表示复数z,则|z|=__________. 【解析】由题意=cos π+isin π =cos +isin =-+i, - 8 - 所以|z|==1. 答案:1 - 8 -查看更多