专题08 平面向量-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题08 平面向量-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题08 平面向量 ‎2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点 ‎1．已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)‎ A．30°B．45°C．60°D．120°‎ 答案　A 解析　∵||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.‎ ‎2．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4B．－4C.D．－ 答案　B ‎3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. 答案　B 解析　如图所示，＝＋.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ 且DE＝2EF，所以＝，‎ ＝＋＝＋ ‎＝＝，‎ 所以＝＋.‎ 又＝－，‎ 则·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝2－2－·.‎ 又||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ 故·＝－－×1×1×＝.‎ 故选B.‎ ‎4．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量.则等于(　　)‎ A.(a＋b) B.(a＋b)‎ C.(a＋b) D.(a＋b)‎ 答案　C 解析　因为DE∥BC，所以DN∥BM，‎ 则△AND∽△AMB，所以＝.‎ 因为＝，‎ 所以＝.‎ 因为M为BC的中点，‎ 所以＝(＋)＝(a＋b)，‎ 所以＝＝(a＋b)．‎ 故选C.‎ ‎5．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.‎ ‎6．在△ABC中，＝(cos32°，cos58°)，＝(sin60°sin118°，sin120°sin208°)，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　||＝＝＝1，‎ ＝，‎ 所以||＝＝.‎ 则·＝cos32°×cos28°－sin32°×sin28°‎ ‎＝(cos32°cos28°－sin32°sin28°)‎ ‎＝cos(32°＋28°)＝cos60°＝，‎ 故cos〈，〉＝＝＝.‎ 又〈，〉∈0°，180°]，所以〈，〉＝60°，‎ 故B＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.‎ 故△ABC的面积为 S＝×||×||sinB ‎＝×1××sin120°＝.故选B.‎ ‎7．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是_____________________________________________________．‎ 答案　－ ‎8．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ 答案　 解析　由已知可得：‎ ≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，‎ 由于上式对任意单位向量e都成立．‎ ‎∴≥|a＋b|成立．‎ ‎∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.‎ 即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.‎ 易错起源1、平面向量的线性运算 例1、(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.‎ ‎(2)(2016·课标全国乙)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　(1)　(2)A ‎【变式探究】(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)∵＝＋＝＋，‎ ‎∴2＝＋，‎ 即＝＋.‎ 故λ＋μ＝＋＝.‎ ‎(2)在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－，故选D.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．‎ ‎2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ 易错起源2、平面向量的数量积 例2、(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎(2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)22　(2)C ‎(2)b2＝cos2＋cos2 ‎＝cos2＋sin2＝1，‎ 所以|b|＝1，|a|＝2.‎ 由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，‎ 故a·b＝－.‎ 故cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 又〈a，b〉∈0，π]，所以〈a，b〉＝，故选C.‎ ‎【变式探究】(1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量在 方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－1‎ C．－ D. ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案　(1)A　(2)1　1‎ 解析　(1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得＝(－2,3)，＝(4,2)，所以向量在方向上的投影为＝＝－.‎ 故选A.‎ ‎(2)方法一　分别以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，‎ 则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以 eq o(DE,sup6(→))·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二　由图知，‎ 无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；‎ ‎(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎2．三个结论 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cosθ＝＝.‎ 易错起源3、平面向量与三角函数 例3、已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)当x∈0，)时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．‎ 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 因为x∈0，)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为0，]．‎ ‎(2)由f(C)＝2sin(2C＋)＋1＝2，‎ 得sin(2C＋)＝，‎ 而C∈(0，π)，所以2C＋∈(，)，‎ 所以2C＋＝π，解得C＝.‎ 因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，‎ 所以＝.‎ 由正弦定理得＝，①‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，‎ 即a2＋b2－ab＝9.②‎ 联立①②，解得a＝，b＝2.‎ ‎【变式探究】已知平面向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，c＝(－cosx，－sinx)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若f＝，求sinα的值．‎ 解　(1)因为a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，‎ c＝(－cosx，－sinx)，‎ 所以b－c＝(sinx＋cosx，sinx－cosx)，‎ f(x)＝a·(b－c)＝sinx(sinx＋cosx)＋cosx(sinx－cosx)．‎ 则f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x ‎＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 则当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)为减函数．‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin，‎ 又f＝，‎ 则sin＝，sin＝.‎ 因为sin2＋cos2＝1，‎ 所以cos＝±.‎ 又sinα＝sin ‎＝sincos＋cossin，‎ 所以当cos＝时，‎ sinα＝×＋×＝；‎ 当cos＝－时，sinα＝×－×＝.‎ ‎【名师点睛】‎ 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．‎ ‎1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　在△ABC中，已知D是AB边上一点，‎ ‎∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.‎ ‎2．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 答案　D ‎3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由已知得到·＝(＋)·(＋)＝－2＋·＋·＋2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以·＝－×22＋0＋0＋×22＝－，故选A.‎ ‎4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，∴1＋a·b－8＝－6，‎ ‎∴a·b＝1＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝，‎ 又∵θ∈0，π]，∴θ＝，故选B.‎ ‎5．已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为(　　)‎ A．2B．4C．6D．8‎ 答案　C 解析　令＝a，＝b，则b－a＝－＝，如图，‎ ‎∵b与b－a的夹角为30°，∴∠OBA＝30°，‎ ‎∵|a|＝||＝3，∴由正弦定理＝得，|b|＝||＝6·sin∠OAB≤6，故选C.‎ ‎6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比值为________．‎ 答案　 解析　设AB的中点为D，‎ 由5＝＋3，得3－3＝2－2，‎ 即3＝2.‎ 如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，‎ 也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，‎ 则△ABM与△ABC的面积比值为.‎ ‎7．设向量＝(5＋cosθ，4＋sinθ)，＝(2,0)，则||的取值范围是________．‎ 答案　4,6]‎ 解析　∵＝－＝(－3－cosθ，－4－sinθ)，‎ ‎∴||2＝(－3－cosθ)2＋(－4－sinθ)2‎ ‎＝6cosθ＋8sinθ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26，‎ 其中tanφ＝，‎ ‎∴16≤||2≤36，∴4≤||≤6.‎ ‎8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 答案　－，]‎ ‎9．已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x＋(x∈R)．‎ ‎(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，求a，b的值．‎ 解　(1)∵函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x＋ (x∈R)，‎ ‎∴f(x)＝sin2x＋＋ ‎＝sin2x－cos2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ‎∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴1－≤sin＋1≤2，‎ ‎∴f(x)的最小值是1－，最大值是2.‎ ‎(2)∵f(C)＝sin＋1＝2，‎ ‎∴sin＝1，∵0

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