专题08 平面向量-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

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专题08 平面向量-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

专题08 平面向量 ‎2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点 ‎1.已知向量=,=,则∠ABC等于(  )‎ A.30°B.45°C.60°D.120°‎ 答案 A 解析 ∵||=1,||=1,‎ cos∠ABC==,∴∠ABC=30°.‎ ‎2.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(  )‎ A.4B.-4C.D.- 答案 B ‎3.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(  )‎ A.- B. C. D. 答案 B 解析 如图所示,=+.‎ 又D,E分别为AB,BC的中点,‎ 且DE=2EF,所以=,‎ =+=+ ‎==,‎ 所以=+.‎ 又=-,‎ 则·=·(-)‎ ‎=·-2+2-· ‎=2-2-·.‎ 又||=||=1,∠BAC=60°,‎ 故·=--×1×1×=.‎ 故选B.‎ ‎4.如图,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设=a,=b,用a,b表示向量.则等于(  )‎ A.(a+b) B.(a+b)‎ C.(a+b) D.(a+b)‎ 答案 C 解析 因为DE∥BC,所以DN∥BM,‎ 则△AND∽△AMB,所以=.‎ 因为=,‎ 所以=.‎ 因为M为BC的中点,‎ 所以=(+)=(a+b),‎ 所以==(a+b).‎ 故选C.‎ ‎5.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于(  )‎ A.- B.- C.- D.- 答案 B 解析 ∵=2,圆O的半径为1,∴||=,‎ ‎∴·=(+)·(+)=2+·(+)+·=()2+0-1=-.‎ ‎6.在△ABC中,=(cos32°,cos58°),=(sin60°sin118°,sin120°sin208°),则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ||===1,‎ =,‎ 所以||==.‎ 则·=cos32°×cos28°-sin32°×sin28°‎ ‎=(cos32°cos28°-sin32°sin28°)‎ ‎=cos(32°+28°)=cos60°=,‎ 故cos〈,〉===.‎ 又〈,〉∈0°,180°],所以〈,〉=60°,‎ 故B=180°-〈,〉=180°-60°=120°.‎ 故△ABC的面积为 S=×||×||sinB ‎=×1××sin120°=.故选B.‎ ‎7.如图,在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是_____________________________________________________.‎ 答案 - ‎8.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是________.‎ 答案  解析 由已知可得:‎ ≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|,‎ 由于上式对任意单位向量e都成立.‎ ‎∴≥|a+b|成立.‎ ‎∴6≥(a+b)2=a2+b2+2a·b=12+22+2a·b.‎ 即6≥5+2a·b,∴a·b≤.‎ 易错起源1、平面向量的线性运算 例1、(1)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=______.‎ ‎(2)(2016·课标全国乙)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(  )‎ A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 答案 (1) (2)A ‎【变式探究】(1)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于(  )‎ A.1 B. C. D. ‎(2)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么等于(  )‎ A.- B.+ C.+ D.- 答案 (1)D (2)D 解析 (1)∵=+=+,‎ ‎∴2=+,‎ 即=+.‎ 故λ+μ=+=.‎ ‎(2)在△CEF中,有=+.‎ 因为点E为DC的中点,所以=.‎ 因为点F为BC的一个三等分点,所以=.‎ 所以=+=+ ‎=-,故选D.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.‎ ‎2.在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.‎ 易错起源2、平面向量的数量积 例2、(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.‎ ‎(2)若b=,|a|=2|b|,且(a+b)·b=-2,则向量a,b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 (1)22 (2)C ‎(2)b2=cos2+cos2 ‎=cos2+sin2=1,‎ 所以|b|=1,|a|=2.‎ 由(a+b)·b=-2,可得a·b+b2=-2,‎ 故a·b=-.‎ 故cos〈a,b〉===-.‎ 又〈a,b〉∈0,π],所以〈a,b〉=,故选C.‎ ‎【变式探究】(1)已知点A,B,C,D在边长为1的方格点图的位置如图所示,则向量在 方向上的投影为(  )‎ A.- B.-1‎ C.- D. ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.‎ 答案 (1)A (2)1 1‎ 解析 (1)不妨以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易得=(-2,3),=(4,2),所以向量在方向上的投影为==-.‎ 故选A.‎ ‎(2)方法一 分别以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以 eq o(DE,sup6(→))·=(t,-1)·(0,-1)=1.‎ 因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二 由图知,‎ 无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,∴·=||·1=1,‎ 当E运动到B点时,在方向上的投影最大即为DC=1,‎ ‎∴(·)max=||·1=1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义;‎ ‎(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ.‎ ‎2.三个结论 ‎(1)若a=(x,y),则|a|==.‎ ‎(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 ‎||=.‎ ‎(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,‎ 则cosθ==.‎ 易错起源3、平面向量与三角函数 例3、已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx(x∈R).‎ ‎(1)当x∈0,)时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.‎ 解 (1)f(x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+)+1,‎ 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ 因为x∈0,),‎ 所以f(x)的单调递增区间为0,].‎ ‎(2)由f(C)=2sin(2C+)+1=2,‎ 得sin(2C+)=,‎ 而C∈(0,π),所以2C+∈(,),‎ 所以2C+=π,解得C=.‎ 因为向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,‎ 所以=.‎ 由正弦定理得=,①‎ 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,‎ 即a2+b2-ab=9.②‎ 联立①②,解得a=,b=2.‎ ‎【变式探究】已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·(b-c).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)若f=,求sinα的值.‎ 解 (1)因为a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),‎ c=(-cosx,-sinx),‎ 所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),‎ f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx).‎ 则f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x ‎=sin2x-cos2x=sin.‎ 则当2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,函数f(x)为减函数.‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=sin,‎ 又f=,‎ 则sin=,sin=.‎ 因为sin2+cos2=1,‎ 所以cos=±.‎ 又sinα=sin ‎=sincos+cossin,‎ 所以当cos=时,‎ sinα=×+×=;‎ 当cos=-时,sinα=×-×=.‎ ‎【名师点睛】‎ 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.‎ ‎1.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 A 解析 在△ABC中,已知D是AB边上一点,‎ ‎∵=2,=+λ,∴=+=+=+(-)=+,∴λ=.‎ ‎2.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(  )‎ A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥ 答案 D ‎3.在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,=2,=3,则·的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 由已知得到·=(+)·(+)=-2+·+·+2,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,所以·=-×22+0+0+×22=-,故选A.‎ ‎4.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 设a与b的夹角为θ,∵(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,∴1+a·b-8=-6,‎ ‎∴a·b=1=|a||b|cosθ,∴cosθ=,‎ 又∵θ∈0,π],∴θ=,故选B.‎ ‎5.已知平面向量a、b(a≠0,a≠b)满足|a|=3,且b与b-a的夹角为30°,则|b|的最大值为(  )‎ A.2B.4C.6D.8‎ 答案 C 解析 令=a,=b,则b-a=-=,如图,‎ ‎∵b与b-a的夹角为30°,∴∠OBA=30°,‎ ‎∵|a|=||=3,∴由正弦定理=得,|b|=||=6·sin∠OAB≤6,故选C.‎ ‎6.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比值为________.‎ 答案  解析 设AB的中点为D,‎ 由5=+3,得3-3=2-2,‎ 即3=2.‎ 如图所示,故C,M,D三点共线,且=,‎ 也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5,‎ 则△ABM与△ABC的面积比值为.‎ ‎7.设向量=(5+cosθ,4+sinθ),=(2,0),则||的取值范围是________.‎ 答案 4,6]‎ 解析 ∵=-=(-3-cosθ,-4-sinθ),‎ ‎∴||2=(-3-cosθ)2+(-4-sinθ)2‎ ‎=6cosθ+8sinθ+26=10sin(θ+φ)+26,‎ 其中tanφ=,‎ ‎∴16≤||2≤36,∴4≤||≤6.‎ ‎8.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=(2,),n=(,0),点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________.‎ 答案 -,]‎ ‎9.已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x+(x∈R).‎ ‎(1)当x∈时,求函数f(x)的最小值和最大值;‎ ‎(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,f(C)=2,若向量m=(1,a)与向量n=(2,b)共线,求a,b的值.‎ 解 (1)∵函数f(x)=sinxcosx+sin2x+ (x∈R),‎ ‎∴f(x)=sin2x++ ‎=sin2x-cos2x+1‎ ‎=sin+1.‎ ‎∵-≤x≤,∴-≤2x-≤,‎ ‎∴-≤sin≤1,‎ ‎∴1-≤sin+1≤2,‎ ‎∴f(x)的最小值是1-,最大值是2.‎ ‎(2)∵f(C)=sin+1=2,‎ ‎∴sin=1,∵0
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