2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．在等差数列{an}中，a1＝2，a6＝17，则a14＝(　　)‎ A．45 B．41 C．39 D．37‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的通项公式得到进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 等差数列{an}中，a1＝2，a6＝17,根据通项公式得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的通项公式的应用，基本量的计算，题目比较基础.‎ ‎2．与的等比中项等于（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比中项的性质列出方程，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据等比数列的性质，设等比中项为x,则 ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比中项的性质及其应用，比较简单.‎ ‎3．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝30°，则此三角形 (　　)‎ A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不确定 ‎【答案】A ‎【解析】由a与b的值和A的度数，根据正弦定理求出sinB的值，图像的交点个数得到B有两个值满足题意，即可得到满足条件的三角形有2个.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理得,‎ 因为B∈（0，），‎ 如图直线有两个不同的交点，‎ 所以B＝arcsin或π﹣arcsin 则满足条件的三角形有2个 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角，是一道中档题．‎ ‎4．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么B的大小为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理，求得sinB的值，进而求得B.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎∴B＝或 ‎∵B为锐角 ‎∴B＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理边角互化的应用以及特殊角的三角函数值．考查了学生的基础知识的熟练掌握．‎ ‎5．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：‎ cos C＝＝－＜0，所以C为钝角．‎ 故选：C ‎6．在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则C的值为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知结合余弦定理可求cosC的值，结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，∵，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosC＝＝＝，‎ ‎∵C∈（0°，180°），‎ ‎∴C＝45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．‎ ‎7．已知等差数列中，则的值为( )‎ A．6 B．8 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的性质得到.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中,根据等差数列的性质得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的性质的应用，题目比较简单.‎ ‎8．在锐角中,角所对的边长分别为.若( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理得到，进而得到角A.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理得到.‎ 进而得到A=或.因为三角形是锐角三角形，故得到角A=.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了正弦定理的边角互化的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较简单.‎ ‎9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，c=，则tanA=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据余弦定理求得角A的余弦值，再由同角三角函数关系得到正弦值，最终得到正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，c=,‎ 根据余弦定理得到 ‎ 根据角A为三角形内角故正弦值一定大于0，‎ 以及 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了解三角形中余弦定理的应用，以及同角三角函数关系的应用，题目比较基础.‎ ‎10．等比数列中，若，且，则公比q=（ ）‎ A．2 B． C．-2 D．-‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的性质得到 ,结合，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中，若 ,又因为，故 ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比数列的性质的应用，以及等比数列的基本量的计算，属于基础题目.‎ ‎11．设是公差为正数的等差数列，若，，则公差等于(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的通项公式得到即,再由80, 化简得到,二元化一元得到公差.‎ ‎【详解】‎ 设是公差为正数的等差数列，若15,根据等差数列通项公式得到即；‎ ‎80，则=16，化简得到，将代入得到d=3.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的通项公式的应用，以及基本量的计算.属于基础题目.‎ ‎12．已知等比数列满足，且，则＋＋ 等于(　　)‎ A．45 B．36 C．16 D．25‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等比数列的性质得到原式等于，将代入得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 等比数列,根据等比数列等比中项的性质得到：‎ ‎＋＋ ‎ 因为，代入上式得到原式等于25.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比数列的等比中项的性质，属于基础题;对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ 二、解答题 ‎13．已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且＋＝1.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列是等比数列．‎ ‎【答案】（1） (2)略 ‎【解析】（1）设{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设{an}的公差为d，‎ ‎∵a2＝6，a5＝18，‎ ‎∴a1+d＝6，a1+4d＝18，‎ ‎∴a1＝2，d＝4． ‎ ‎∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2． ‎ ‎（2）证明：当n＝1时，b1＝T1，由T1+b1＝1，得b1＝． ‎ 当n≥2时，Tn＝1，Tn﹣1＝1﹣bn﹣1，‎ ‎∴Tn﹣Tn﹣1＝（bn﹣1﹣bn），即bn＝（bn﹣1﹣bn），‎ ‎∴bn＝bn﹣1．‎ ‎∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎14．已知为等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式； ‎ ‎（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、‎ ‎（1）设公差为，由已知得 解得 ‎（2），等比数列的公比 利用公式得到和。‎ ‎15．已知等差数列是递增数列，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，用裂项相消法求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式;（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{an}是递增数列，‎ 且a1a5＝9，．‎ 则：,‎ 解得：a1＝1或9，a5＝9或1，‎ 由于数列为递增数列，‎ 则：a1＝1，a5＝9．‎ 故：d＝2‎ 则：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．‎ ‎（2）由于an＝2n﹣1，‎ 则：bn＝＝，‎ ‎＝，‎ ‎＝．‎ 所以：Sn＝b1+b2+…+bn，‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ ‎＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎16．在锐角中，分别为角所对的边,且.‎ ‎(1)确定角 的大小;‎ ‎(2)若 ,且的面积为 ,求的值.‎ ‎【答案】（I） （II）‎ ‎【解析】(1).由整理得：，问题得解。‎ ‎(2)由的面积为列方程求得，由余弦定理得，从而求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由及正弦定理得, ‎ ‎∵,∴‎ ‎∵是锐角三角形,∴‎ ‎(2)解法1:∵,,由面积公式得即,①‎ 由余弦定理得即,②‎ 由②变形得,故;‎ 解法2:前同解法1,联立①、②得 ‎ 消去并整理得,解得或,‎ 所以或,故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎17．在△ABC中，且bccosA＝S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积)．‎ ‎(1)求cosA的值；‎ ‎(2) 若b＝2，S△ABC＝3，求a的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用三角形面积公式得到角A的正切值，再由同角三角函数的基本关系求出cosA的值；（2）根据b＝2，△ABC的面积S△ABC＝3，求出c的值及cosA的值，再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA＝13，求出a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵bccosA＝S△ABC，∴，‎ ‎∴>0,故角A是第一象限角.‎ 又sin2A+cos2A＝1，A∈（0，）∴,cosA=‎ ‎（2），∴c＝5．‎ ‎∵，，∴‎ a2＝b2+c2﹣2bccosA＝13，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题；在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 ‎ 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎18．已知正项等差数列中，且，，成等比数列。‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)记前项和是，用错位相减法求.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）利用S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，确定两个方程，即可求{an}的通项公式；（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设公差为d，则∵S3＝12，，即a1+a2+a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4，‎ 又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22＝2（a2﹣d）（a2+d+1），解得d＝3或d＝﹣4（舍去），‎ ‎∴an＝a2+（n﹣2）d＝3n﹣2.‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 两式相减得到 ‎ ‎ ‎ 化简得到.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的方法的应用，数列通项的求法中常见的题型有：已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ 三、填空题 ‎19．在中，，，，则B等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理即可求得，再由知，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 在中，，，，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，熟记正弦定理，在中，知是关键，属于基础题．‎ ‎20．已知数列的前n项和，则数列的通项 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当n=1时，S1=1‎ 当n时，Sn ‎∴‎ ‎21．已知等差数列中，，当 ______时，取最大值．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差，由此求出通项公式，利用配方法能求出结果 ‎【详解】‎ 等差数列中，，且，‎ ‎，解得，‎ ‎．‎ 时，取得最大值．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用,是基础题.‎ ‎22．在数列中， ，，则数列的通项____．‎ ‎【答案】2n+3‎ ‎【解析】根据题干得到将式子累加得到通项.‎ ‎【详解】‎ 数列中，，，根据这一表达式继续推导得到 将这些式子累加得到： ‎ 将代入得到.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列通项的求法，根据递推关系得到数列前后两项的关系，通过累加法得到式子的和，进而得到数列通项.属于中档题.‎