【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-1随机事件、古典概型与几何概型作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-1随机事件、古典概型与几何概型作业

专题十一　概率与统计 挖命题 ‎【真题典例】‎ ‎11.1　随机事件、古典概型与几何概型 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.随机事件的概率 ‎①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.‎ ‎②了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎③理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎④会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎⑤了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.‎ ‎⑥了解几何概型的意义 ‎2014课标Ⅰ,5,5分 利用等可能事件 概率公式求随机 事件的概率 ‎★★★‎ ‎2018课标Ⅱ,8,5分 ‎ 古典概型 组合 ‎2.古典概型 ‎2018课标Ⅰ,10,5分 与面积有关 的几何概型 圆的面积和 三角形的面积 ‎2017课标Ⅰ,2,5分 与面积有关 的几何概型 圆的面积和 正方形的面积 ‎3.几何概型 ‎2016课标Ⅰ,4,5分 与长度有关 的几何概型 对立事件 ‎2016课标Ⅱ,10,5分 与面积有关 的几何概型 随机模拟 分析解读　　本节是高考的热点,常以选择题和填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　随机事件的概率 ‎1.(2018湖南郴州第二次教学质量监测,3)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1　　　　B.‎1‎‎6‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017福建泉州高考考前适应性模拟(一),3)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是‎2‎‎5‎,则取得白球的概率等于(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.0.2　　　　B.0.25　　　　C.0.4　　　　D.0.35‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018江西重点中学盟校第一次联考,14)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ 考点三　几何概型 ‎　(2018安徽安庆二模,4)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚3克圆形金质纪念币,直径为18 mm,小米同学为了测算图中装饰狗的面积,他用1枚针向纪念币投掷500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是(　　)‎ A.‎486π‎5‎ mm2　　　　B.‎243π‎10‎ mm2‎ C.‎243π‎5‎ mm2　　　　D.‎243π‎20‎ mm2‎ 答案　B　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　古典概型概率的求法 ‎1.(2017山西吕梁孝义高考热身试题,5)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎9‎‎16‎　　　　B.‎7‎‎16‎　　　　C.‎9‎‎32‎　　　　D.‎‎7‎‎32‎ 答案　A　‎ ‎2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎2‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎9‎‎10‎ 答案　D　‎ 方法2　几何概型概率的求法 ‎1.(2017湖南长沙四县3月联考,4)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)‎ A.1-π‎4‎　　　　B.π‎12‎　　　　C.π‎4‎　　　　D.1-‎π‎12‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018河南安阳二模,7)在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则x2+y2≥1的概率为(　　)‎ A.1-π‎4‎　　　　B.‎1‎‎2‎-π‎8‎　　　　C.1-π‎8‎　　　　D.‎1‎‎2‎-‎π‎4‎ 答案　A　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　随机事件的概率 ‎　(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎8‎　　　　B.‎3‎‎8‎　　　　C.‎5‎‎8‎　　　　D.‎‎7‎‎8‎ 答案　D　‎ 考点二　古典概型 ‎　(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是　(　　)‎ A.‎1‎‎12‎　　　　B.‎1‎‎14‎　　　　C.‎1‎‎15‎　　　　D.‎‎1‎‎18‎ 答案　C　‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(　　)‎ A.p1=p2　　　　B.p1=p3　　　　C.p2=p3　　　　D.p1=p2+p3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎　　　　B.π‎8‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.‎2‎‎3‎　　　　D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　随机事件的概率 ‎　(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎6‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎5‎‎18‎　　　　B.‎4‎‎9‎　　　　C.‎5‎‎9‎　　　　D.‎‎7‎‎9‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=‎6+x-‎x‎2‎的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎9‎ ‎2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎4‎ ‎3.(2015福建,13,4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎12‎ C组　教师专用题组 考点一　随机事件的概率 ‎　(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎(1)试估计C班的学生人数;‎ ‎(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)‎ 解析　(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×‎8‎‎20‎=40.‎ ‎(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,‎ 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.‎ 由题意可知,P(Ai)=‎1‎‎5‎,i=1,2,…,5;P(Cj)=‎1‎‎8‎, j=1,2,…,8.‎ P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=‎1‎‎5‎×‎1‎‎8‎=‎1‎‎40‎,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.‎ 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.‎ 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×‎1‎‎40‎=‎3‎‎8‎.‎ ‎(3)μ1<μ0.‎ 解后反思　本题第(2)问事件繁多,但注意到“互斥”“相互独立”及“等概率”,计算量并不大.第(3)‎ 问观察到从A班、B班中抽取的样本数据恰好是该班的平均数,而C班中抽取的样本数据小于该班的平均数,自然有μ1<μ0.‎ 评析　本题考查抽样方法,互斥事件、相互独立事件的概率,平均数.属中档题.‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎6‎ ‎3.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎4.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎5.(2014广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎6‎ ‎6.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由已知,有P(A)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎3‎.‎ 所以,事件A发生的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)=C‎3‎‎2‎‎+C‎3‎‎2‎+‎C‎4‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎4‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎4‎‎15‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎4‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎4‎‎15‎=1.‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)‎ A.‎4nm　　　　B.‎2nm　　　　C.‎4mn　　　　D.‎‎2mn 答案　C　‎ ‎2.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎4‎+‎1‎‎2π　　　　B.‎1‎‎4‎-‎1‎‎2π　　　　C.‎1‎‎2‎-‎1‎π　　　　D.‎1‎‎2‎+‎‎1‎π 答案　B　‎ ‎3.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥‎1‎‎2‎”的概率,p2为事件“|x-y|≤‎1‎‎2‎”的概率,p3为事件“xy≤‎1‎‎2‎”的概率,则(　　)‎ A.p1a4>a5的五位数的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎20‎ ‎9.(2018广东江门3月模拟(一模),16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为　　　　. ‎ 答案　0.44‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎10.(2019届广东汕头达濠华侨中学、东厦中学高三第一次联考,17)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6‎ 人对绩效工资情况进行调查.‎ ‎(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;‎ ‎(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率.‎ 解析　(1)从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.‎ ‎( 2 )在抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A1,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,1名高级教师记为A6,则抽取2名教师的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.‎ 从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.所以P(B)=‎3‎‎15‎=‎1‎‎5‎.‎ ‎11.(2017安徽皖南地区一模,18)某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,依此类推,统计结果如下表:‎ 停靠时间 ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 轮船数量 ‎12‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时,求a的值;‎ ‎(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.‎ 解析　(1)a=‎1‎‎100‎×(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3)=4.‎ ‎(2)设甲船到达的时间为x,乙船到达的时间为y,则‎0

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