【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版8-1空间几何体的结构、三视图和直观图学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版8-1空间几何体的结构、三视图和直观图学案

‎§8.1　空间几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲 考情考向分析 ‎1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.‎ 空间几何体的结构特征、三视图、直观图是高考重点考查的内容．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.‎ ‎1．多面体的结构特征 ‎2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3.三视图与直观图 直观图 空间几何的直观图：常用斜二测画法来画．‎ 基本步骤是：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半 三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等 概念方法微思考 ‎1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？‎ 提示　不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．‎ ‎2．什么是三视图？怎样画三视图？‎ 提示　光线自物体的正前方投射所得的正投影称为主视图，自左向右的正投影称为左视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的主视图、左视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)‎ ‎(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．(　√　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　×　)‎ ‎(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　×　)‎ ‎(6)菱形的直观图仍是菱形．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．下列说法正确的是(　　)‎ A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案　D 解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．‎ ‎3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)‎ 答案　③⑤‎ 题组三　易错自纠 ‎4．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 答案　A 解析　由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形．‎ ‎5．(2019·沈阳模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的左视图是(　　)‎ 答案　C 解析　此几何体左视图是从左边向右边看．故选C.‎ ‎6．如图，直观图所表示的平面图形是(　　)‎ A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案　D 解析　由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.‎ ‎7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．2‎ 答案　B 解析　先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．‎ 圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，‎ 则图中MN即为M到N的最短路径．‎ ‎|ON|＝×16＝4，|OM|＝2，‎ ‎∴|MN|＝＝＝2.‎ 故选B.‎ 题型一　空间几何体的结构特征 ‎1．以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　B 解析　由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．‎ 其中不正确的命题为________．(填序号)‎ 答案　①②③‎ 解析　对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．‎ 综上，命题①②③不正确．‎ 思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法 ‎(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．‎ ‎(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．‎ 题型二　简单几何体的三视图 命题点1　已知几何体识别三视图 例1 (2018·全国Ⅲ)‎ 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 答案　A 解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.‎ 命题点2　已知三视图，判断简单几何体的形状 例2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 答案　B 解析　由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．‎ 命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例3 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ 答案　C 解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．‎ 思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．‎ ‎(2)还原几何体．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．‎ ‎(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先猜测，还原，再判断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．‎ 跟踪训练1 (1)(2018·大连模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(　　)‎ A．①② B．①④ C．②③ D．②④‎ 答案　B 解析　P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.‎ ‎(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长棱的长度为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2 答案　B 解析　由三视图得，该几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示．‎ 侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，‎ 则AE＝1，BE＝2，AD＝2，PE＝4，‎ 则该几何体中最长的棱为PC＝＝2，故选B.‎ 题型三　空间几何体的直观图 例4 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．‎ 答案　 解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．‎ 因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，‎ 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.‎ 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线．‎ 跟踪训练2 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　)‎ A．2＋ B．1＋ C．4＋2 D．8＋4 答案　D 解析　由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为 ＝8＋4，故选D.‎ ‎1．(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(　　)‎ A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 答案　C 解析　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.‎ ‎2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ 答案　B 解析　主视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此主视图是①，左视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此左视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.‎ ‎3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 答案　C 解析　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．‎ ‎4．某几何体的主视图与左视图如图所示，则它的俯视图不可能是(　　)‎ 答案　C 解析　若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C.‎ ‎5．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图为(　　)‎ 答案　D 解析　由主视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与被轴截面截开的半个圆锥的组合体，故左视图为D.‎ ‎6．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(　　)‎ A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 答案　C ‎7．(2019·赤峰模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的主视图、俯视图如右图所示，则该棱柱的左视图的面积为(　　)‎ A．18 B．18 C．18 D. 答案　C 解析　设左视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3.‎ 所以左视图的面积为S＝3×6＝18.故选C.‎ ‎8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形 答案　A 解析　用一个平面去截正方体，则截面的情况为：‎ ‎①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；‎ ‎②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；‎ ‎③截面为五边形时，不可能是正五边形；‎ ‎④截面为六边形时，可以是正六边形．‎ ‎9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．‎ 答案　2 解析　因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.‎ ‎10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．‎ 答案　1‎ 解析　如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为1.‎ ‎11．给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 答案　②③④‎ 解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．‎ ‎12．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为________．‎ 答案　 解析　四面体如图所示，其中SB⊥平面ABC且在△ABC中，‎ ‎∠ACB＝90°.‎ 由SB⊥平面ABC，AB⊂平面ABC得SB⊥AB，同理SB⊥BC，‎ 所以棱长最长的为SA且SA＝＝＝.‎ ‎13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　)‎ 答案　B 解析　由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.‎ ‎14．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图的形状为(　　)‎ 答案　B 解析　由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是(　　)‎ A．圆弧 B．抛物线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 答案　D 解析　根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.‎ ‎16.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.‎ 答案　1‎ 解析　把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，‎ 由题意OP＝4，PP′＝4，‎ 则cos∠POP′＝ ‎＝0，且∠POP′是三角形的内角，‎ 所以∠POP′＝.‎ 设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝1.‎