2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文

2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文

‎2019年度高三第三次模拟考文科数学试卷 班级： 姓名： 座号： ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设有下面四个命题，其中的真命题为 （ ）‎ ‎ A．若复数，则 B．若复数满足，则或 ‎ C．若复数满足，则 D．若复数满足，则 ‎3.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是 （ ）‎ A．它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上 C．它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等 ‎4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在等比数列中，，则“，是方程 的两根”是“”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而充分不条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是 ( )‎ A．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 ‎ B．2017年1月至12月的仓储指数的 中位数为54%‎ C．2017年1月至4月的仓储指数比2016‎ 年同期波动性更大 D．2017年11月的仓储指数较上月有所 回落，显示出仓储业务活动仍然较为 活跃，经济运行稳中向好 ‎7．设，分别为椭圆：‎ - 11 -‎ 的左右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆 的离心率为 （ ） A． B． C． D．‎ ‎8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”‎ 包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，‎ 如右图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，‎ 输出的的值为 （ ） A． B． C． D．‎ ‎9．已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，‎ 则 （ ）　A．　 B． C．　 D．‎ ‎10．在中，，，，则 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，‎ ‎，，则球的表面积为 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设定义在上的函数满足对任意都有，‎ 且时，，则，，的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若变量满足约束条件则的最小值为_________； ‎ - 11 -‎ ‎14.已知函数 若，‎ ‎，则 ． ‎ ‎15. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如右上图所示的是一位母亲 记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，‎ 孩子已经出生的天数是 ． ‎ ‎16.已知数列的前项和为，，且满足，数列满足，‎ ‎，则数列中第 项最小． ‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. (本小题满分12分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，‎ 且． (Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值．‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知四棱台的上下底面 分别是边长为和的正方形，且底面，‎ 点为的中点. (Ⅰ)求证: 平面；‎ ‎(Ⅱ)在上找一点使得平面，并求三棱锥 的体积.‎ ‎19. (本小题满分12分) 某公司想了解对某产品投入的 宣传费用与该产品的营业额的影响.右图是以往公司对该 产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：‎ 万元)的统计折线图.‎ ‎(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的回归方程；‎ ‎(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为应投入 宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. (计算结果保留两位小数)‎ 参考数据：，，，，‎ - 11 -‎ 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，抛物线，三点，，中仅有一个点在抛物线上．(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线不经过点且与相交于两点．若直线与的斜率之和为，‎ ‎　　证明：过定点．‎ ‎21. (本小题满分12分) 已知函数，，曲线在处 ‎　　的切线方程为．　　　　 (Ⅰ)求，；‎ ‎(Ⅱ)若时，，求的取值范围．‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，‎ 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)‎ 在极坐标系中，曲线：（），：，与直线有且仅有一个公共点.‎ ‎(Ⅰ)求 ；(Ⅱ)若为极点，为上的两不同点，且，求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)‎ 设函数． (Ⅰ)求函数的值域；‎ ‎(Ⅱ) 若函数的最大值为，且实数满足，‎ - 11 -‎ 求证：．‎ ‎‎ - 11 -‎ ‎2019年度莆田六中高三第三次模拟考文科数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A D C A D C ‎ B ‎ A ‎ D D C 二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. ； 14.； 15.； 16. ‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)∵，则由正弦定理得：，…2分 ‎　　　∴，∴，…4分，又，∴；…6分 ‎(Ⅱ)由题意得，是线段的两个三等分点，设，则，，…7分 又，，在中，由余弦定理得，…8分，解得 ‎（负值舍去），则，…10分，又在中，.…12分 或解：在中，由正弦定理得：，∴，…8分，又，‎ ‎，∴，∴为锐角，∴，…9分，∴，又，∴，…10分，∴，∴，，…11分，∴在中，‎ ‎．……12分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：(1)证明：∵底面，面，∴，又∵为正方形，‎ ‎∴，…1分，又，∴平面，…2分，又∵平面，∴，…3分，又∵，，，∴，∴，又 - 11 -‎ ‎，∴，∴，…5分，又，∴平面；…6分，‎ ‎(Ⅱ) 在上存在一点，当时，可使得平面，‎ 下证之．…7分，取中点，连接，，又点为的 中点，则在梯形，，‎ ‎，又，，∴，…8分，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面；…9分，又∵，∴，…10分，‎ 又，…11分，‎ 又平面，∴．…12分，‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：，，…1分，‎ ‎，…2分，又，‎ ‎，∴，…3分，‎ 因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ……4分 - 11 -‎ ‎（Ⅱ）又，∴，…6分，‎ ‎∴，…7分，所以关于的回归方程为. …8分 ‎（Ⅲ）故，…10分，故当时，‎ ‎.…11分，所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元. ……12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)因为点,关于轴对称，故两个点都不在抛物线上． ………………1分 所以仅在抛物线上，计算得，解得，………………2分 所以．………3分，经验证,都不在上． ………………4分 ‎（Ⅱ）由题意得直线斜率不为，设直线，，与的 斜率分别为．将与联立，并消去，得：，……5分 ‎　故有；．…6分，又因为，……………7分 ‎　所以，………8分，解得 ‎　又因为，所以，…9分，即，…10分 ‎　解得，即，…11分，故，必过定点．…12分 - 11 -‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 解：（1）∵，∴．…2分，又依题意，可得：，‎ ‎　　　　即.…3分，又因为切点为，所以，即．…4分 由上可解得，． …5分 ‎（2）依题意，，即．又，所以原不等式 等价于．……6分，构造函数，则，，‎ 则． ……7分 ‎　　　①当时，在上恒成立，故在上单调递增，‎ 又，故当时，，故不合题意． ……8分 ‎②当时，令，得，由下表：‎ 单调递增 单调递减 可知，．……10分 构造，，可得，由下表：‎ 单调递减 单调递增 可知，．……11分，由上可知，只能有，即． …12‎ - 11 -‎ 分 ‎22. (本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)∵曲线：，∴，故化为直角坐标方程，得， ‎ 即，…1分，∴曲线是以为圆心，以为半径的圆，…2分，‎ 又：，∴，故化为直角坐标方程，得，…3分，‎ 又直线与圆有且仅有一个公共点，故，…4分，又，∴；…5分，‎ ‎∴曲线：； ‎ ‎(Ⅱ)不妨设点在点的下方，设点的极坐标为，…6分，则依题意可设点的极坐标为 ‎，且，，故，…7分，∴，‎ ‎，∴，，…8分，∴‎ ‎，…9分，又，故当时，‎ 即时，取得最大值，最大值为.…10分，‎ ‎23．解：(Ⅰ)∵，∴，…2分 ‎（当且仅当即时，等号成立），…3分 ∴，…4分 ‎∴函数的值域为；…5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得： 函数的最大值，又，∴‎ - 11 -‎ ‎，‎ ‎…6分，∴…7分，‎ ‎ …8分， ，‎ ‎（当且仅当，即时，等号成立），…9分 ‎∴…10分．‎ ‎ ‎ - 11 -‎