2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

‎3.3.2　‎从函数观点看一元二次不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)‎ ‎2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)‎ 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．‎ ‎2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在‎90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过‎68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为‎110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？‎ ‎1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．‎ 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？‎ ‎[提示]　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．‎ ‎2．三个“二次”的关系 设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0‎ 判别式Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)‎ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有根实数 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 ‎{x|x＜x1或x＞x2}‎ R - 9 -‎ ax2＋bx＋c＜0的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ 思考2：若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？‎ ‎[提示]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．‎ ‎1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)‎ A． B． C． D．R C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－．]‎ ‎2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)‎ A． B． C．∅ D．R D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．]‎ ‎3．不等式x2－2x－5>2x的解集是　　　　　　　　．‎ ‎{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，‎ 因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，‎ 故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]‎ ‎4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为　　　　　　　　．‎ ‎∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0．‎ 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．‎ 由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅．]‎ 一元二次不等式的解法 ‎【例1】　解下列不等式：‎ ‎(1)2x2＋7x＋3>0；‎ ‎(2)－4x2＋18x－≥0；‎ - 9 -‎ ‎(3)－2x2＋3x－2<0．‎ ‎[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为．‎ ‎(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为．‎ ‎(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．‎ 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.‎ (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.‎ (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.‎ (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.‎ (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.‎ ‎1．解下列不等式 ‎(1)2x2－3x－2>0；‎ ‎(2)x2－4x＋4>0；‎ ‎(3)－x2＋2x－3<0；‎ ‎(4)－3x2＋5x－2>0．‎ ‎[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，‎ ‎∴不等式2x2－3x－2>0的解集为 ．‎ ‎(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，‎ ‎∴不等式x2－4x＋4>0的解集为．‎ ‎(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，‎ 由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，‎ ‎∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R．‎ ‎(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，‎ 由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，‎ - 9 -‎ ‎∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为．‎ 含参数的一元二次不等式的解法 ‎【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．‎ ‎[思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？‎ ‎[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1．‎ 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．‎ 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，‎ ‎∵<1，∴x<或x>1．‎ 当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．‎ 若<1，即a>1，则1，即01}；当01时，原不等式的解集为．‎ 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．‎ - 9 -‎ ‎2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．‎ ‎[解]　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，‎ 化简为(x＋1)(ax－2)≥0．‎ ‎∵a<0，∴(x＋1)≤0．‎ 当－20、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？‎ ‎[提示]　y＝x2－2x－3的图象如示．‎ 函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．‎ ‎2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？‎ ‎[提示]　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．‎ - 9 -‎ 不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．‎ ‎3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x10的解集为{x|20的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．‎ 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．‎ ‎[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．‎ ‎∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，‎ 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．‎ 解得．‎ ‎2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．‎ ‎(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．‎ ‎3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　)‎ ‎(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　)‎ ‎(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x10的解集为R． (　　)‎ ‎[提示]　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．‎ ‎(2)因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．‎ ‎(3)当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x10的解集为R．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为　　　　　　　　．‎ 　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x0的解集为 - 9 -‎ ‎　　　　　　　　．‎ 　[由题意知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，‎ 故 解得a＝c，b＝a．‎ 所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，‎ 解得0的解集为．]‎ ‎4．解下列不等式：‎ ‎(1)x(7－x)≥12；‎ ‎(2)x2>2(x－1)．‎ ‎[解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，‎ 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．‎ ‎(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，‎ 因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，‎ 所以原不等式的解集为R．‎ - 9 -‎