高中数学选修2-2课件2_2_1_1
2.2
直接证明与间接证明
2.2.1
综合法和分析法
第
1
课时 综 合 法
问题
引航
1.
综合法的定义是什么
?
有什么特点
?
2.
综合法的推证过程是什么
?
综合法
定义
推证过程
特点
利用
_________
和某些数
学
_____
、
_____
、
_____
等
,
经过一系列的
_____
_____,
最后推导出所要证明的结论成立
,
这种证明方法叫做综合法
P
⇒
Q
1
→ Q
1
⇒
Q
2
→
Q
2
⇒
Q
3
→…→
Q
n
⇒
Q (P
表示
_____
_____
、已有的
_____
、
_____
、
_____
等
,Q
表
示
_______________).
顺推证法或由因导果法
已知条件
定义
公理
定理
推理
论证
已知
条件
定义
公理
定理
所要证明的结论
1.
判一判
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
综合法是执果索因的逆推证法
.(
)
(2)
综合法证明的依据是三段论
.(
)
(3)
综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件
.(
)
【
解析
】
(1)
错误
.
综合法是一种由因导果的顺推证法
.
(2)
正确
.
综合法的逻辑依据是三段论
.
(3)
正确
.
综合法从
“
已知
”
看
“
可知
”
,
逐步推出
“
未知
”
,
其逐步推理实际上是寻找它的必要条件
.
答案
:
(1)×
(2)√
(3)√
2.
做一做
(
请把正确的答案写在横线上
)
(1)
已知函数
f(x)=ax
2
+bx+c
是偶函数
,
则
b
的值为
.
(2)
在不等式
“
a
2
+b
2
≥2ab
”
的证明中
:
因为
a
2
+b
2
-2ab=(a-b)
2
≥0
所以
a
2
+b
2
≥2ab,
该证明用的方法是
.
(3)
角
A,B
为△
ABC
内角
,A>B
是
sinA>sinB
的
条件
(
填
“
充分
”“
必要
”“
充要
”
或
“
既不充分又不必要
”
).
【
解析
】
(1)
由于
f(x)
为偶函数
.
所以
f(-x)=f(x).
所以
ax
2
-bx+c=ax
2
+bx+c,
所以
-bx=bx,
所以
b=0.
答案
:
0
(2)
由因导果
,
易知该证法为综合法
.
答案
:
综合法
(3)
角
A,B
为△
ABC
内角且
A>B,
所以
sinA>sinB,
由
sinA>sinB(A,B
均为△
ABC
的内角
)
知
A>B.
答案
:
充要
【
要点探究
】
知识点
综合法
1.
综合法的基本思路
综合法的基本思路是
“
由因导果
”
,
由已知走向求证
,
即从数学题的已知条件出发
,
经过逐步的逻辑推理
,
最后导出待证结论或需求的问题
.
2.
综合法的两个特点
(1)
用综合法证明不等式
,
证明步骤严谨
,
逐层递进
,
步步为营
,
条理清晰
,
形式简洁
,
宜于表达推理的思维轨迹
.
(2)
因用综合法证明命题
“
若
A
则
D
”
的思考过程可表示为
:
故要从
A
推理到
D,
由
A
推演出的中间结论未必唯一
,
如
B,B
1
,B
2
等
,
可由
B,B
1
,B
2
进一步推演出的中间结论则可能更多
,
如
C,C
1
,C
2
,C
3
,C
4
等等
.
所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”
.
【
知识拓展
】
综合法证明不等式时常用的不等式
(1)a
2
+b
2
≥2ab(
当且仅当
a=b
时取等号
).
(2) (a,b∈R
*
,
当且仅当
a=b
时取等号
).
(3)a
2
≥0,|a|≥0,(a-b)
2
≥0.
(4) ≥2(a,b
同号
). ≤-2(a,b
异号
).
(5)a,b∈R,a
2
+b
2
≥ (a+b)
2
.
(6)
不等式的性质
定理
1
对称性
:a>b
⇔
b
c.
定理
3
加法性质
:
⇒
a+c>b+c.
推论
⇒
a+c>b+d.
定理
4
乘法性质
:
⇒
ac>bc.
推论
1
⇒
ac>bd.
推论
2
⇒
a
n
>b
n
.
定理
5
开方性质
:
【
微思考
】
综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理
?
提示
:
综合法的推理过程是演绎推理
,
它的每一步推理都是严密的逻辑推理
,
得到的结论是正确的
.
【
即时练
】
1.(2014
·
福州高二检测
)
下面的四个不等式
:①a
2
+b
2
+3≥
ab+ (a+b);②a(1-a)≤ ;③ ≥2;④(a
2
+b
2
)
·
(c
2
+d
2
)≥(ac+bd)
2
,
其中恒成立的有
.
2.
求证
:a
2
+b
2
+c
2
≥ab+ac+bc.
【解析】
1.
因为
a
2
+b
2
≥2ab,a
2
+3≥2 a,b
2
+3≥2 b.
相加
得
2(a
2
+b
2
+3)≥2ab+2 (a+b),
所以
a
2
+b
2
+3≥ab+ (a+b),
所以①正确
.
由于
a(1-a)- =-a
2
+a- =- ≤0.
所以
②正确
.(a
2
+b
2
)
·
(c
2
+d
2
)=a
2
c
2
+a
2
d
2
+b
2
c
2
+b
2
d
2
≥a
2
c
2
+2abcd+
b
2
d
2
=(ac+bd)
2
,
所以④正确
.
而 ≥
2,
因为
a,b
的符号不确定
,
所以不一定成立
.
答案
:
①②④
2.
因为
a
2
+b
2
≥2ab,a
2
+c
2
≥2ac,b
2
+c
2
≥2bc.
将此三式相加可得
2(a
2
+b
2
+c
2
)≥2ab+2ac+2bc,
所以
a
2
+b
2
+c
2
≥ab+ac+bc,
所以原式成立
.
【
题型示范
】
类型一
用综合法证明三角问题
【典例
1】
(1)(2014
·
马鞍山高二检测
)
在△
ABC
中
,
已知
cosAcosB>
sinAsinB,
则△
ABC
的形状一定是
.
(2)
在△
ABC
中
,a,b,c
分别为内角
A,B,C
的对边
,
且
2asinA=
(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
①
求证
:A
的大小为
60°;
②
若
sinB+sinC= .
证明△
ABC
为等边三角形
.
【
解题探究
】
1.
题
(1)
中△
ABC
的形状可从哪些角度判断
?
2.
题
(2)
中①
A
的大小怎样与已知条件联系起来
?②
中怎样说明△
ABC
为等边三角形
?
【
探究提示
】
1.
可以从边的角度或角的角度判断△
ABC
的形状
,
结合已知条件应从角的角度判断
.
2.①
中可利用正弦定理将角与边互化然后利用余弦定理求
A;
②
中由
sinB+sinC=
及隐含条件
A=60°
可求
B,C,
说明△
ABC
的形状
.
【
自主解答
】
(1)
因为
cosAcosB>sinAsinB,
所以
cosAcosB-sinAsinB
=cos(A+B)>0.
因为
00,b+a-c>0,b-a-c<0,b+a+c>0.
所以
Δ=(b-a+c)(b+a-c)(b-a-c)(b+a+c)<0,
故方程
a
2
x
2
+(b
2
-a
2
-c
2
)x+c
2
=0
没有实数根
.
【补偿训练】
求证
:sin3α=3sinα-4sin
3
α.
【
解析
】
左边
=sin(2α+α)
=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos
2
α+(1-2sin
2
α)sinα
=2sinα(1-sin
2
α)+sinα-2sin
3
α
=2sinα-2sin
3
α+sinα-2sin
3
α
=3sinα-4sin
3
α=
右边
.
所以
sin3α=3sinα-4sin
3
α.
类型二
综合法在数列中的应用
【典例
2】
(1)(2014
·
温州高二检测
)
已知方程
(x
2
-mx+2)(x
2
-nx+2)=0
的四个根组成一个首项为 的等比数列
,
则
|m-n|=
.
(2)
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
满足
(3-m)S
n
+2ma
n
=m+3(n∈N
*
).
其中
m
为常数
,
且
m≠-3,m≠0.
①
求证
:{a
n
}
是等比数列
.
②
若数列
{a
n
}
的公比
q=f(m),
数列
{b
n
}
满足
b
1
=a
1
,b
n
=
f(b
n-1
)(n∈N
*
,n≥2),
求证
:{ }
为等差数列
.
【解题探究】
1.
题
(1)
中
m,n
的值怎样求解
?
2.
题
(2)①
中证明等比数列的关键是什么
?②
中怎样说明为
{ }
等差数列
?
【
探究提示
】
1.
利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求
m,n.
2.①
中关键是利用
a
n+1
与
S
n
和
S
n+1
之间的关系结合等比数列的
定义
;②
中利用定义说明
,
即 常数
(n≥2).
【
自主解答
】
(1)
方程
(x
2
-mx+2)(x
2
-nx+2)=0
⇔
x
2
-mx+2=0①
或
x
2
-nx+2=0②.
设方程①两根为
x
1
,x
4
,
方程②两根为
x
2
,x
3
.
则
x
1
·
x
4
=2,x
1
+x
4
=m,x
2
·
x
3
=2,x
2
+x
3
=n.
因为方程
(x
2
-mx+2)
(x
2
-nx+2)=0
的四个根组成一个首项为 的等比数列
.
所以
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
分别为此数列的前四项且
x
1
= ,x
4
= =4,
公比
为
2,
所以
x
2
=1,x
3
=2,
所以
m=x
1
+x
4
= +4= ,n=x
2
+x
3
=1+2=3,
故
|m-n|=
答案
:
(2)①
由
(3-m)S
n
+2ma
n
=m+3,
得
(3-m)S
n+1
+2ma
n+1
=m+3,
两式相减得
(3+m)a
n+1
=2ma
n
,
因为
m≠0
且
m≠-3,
所以
所以
{a
n
}
是等比数列
.
②
因为
b
1
=a
1
=1,q=f(m)=
所以
n∈N
*
且
n≥2
时
,
所以
{ }
是以
1
为首项
,
为公差的等差数列
.
【
延伸探究
】
题
(2)①
中若
m=1
试求
{a
n
}
的前
n
项和
.
【
解析
】
若
m=1
则
由已知得
(3-1)S
1
+2a
1
=4,
所以
a
1
=1,
即数列
{a
n
}
是以
1
为首项为 公比的等比数列
.
=2-2
1-n
.
【
方法技巧
】
综合法证明数列问题的依据
【
变式训练
】
在数列
{a
n
}
中
,a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+2
n
.
(1)
设
b
n
= ,
求证数列
{b
n
}
是等差数列
.
(2)
求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
【
解题指南
】
用综合法证明有关数列的问题
,
同时要注意理解等差数列的含义
.
【
解析
】
(1)
因为
a
n+1
=2a
n
+2
n
,
所以
因为
b
n
=
所以
b
n+1
= =b
n
+1,
所以数列
{b
n
}
是等差数列
,
其中
b
1
=1,
公差为
1,
所以
b
n
=n,a
n
=n
·
2
n-1
.
(2)
因为
S
n
=1×2
0
+2×2
1
+
…
+(n-1)
·
2
n-2
+n
·
2
n-1
,
所以
2S
n
=1×2
1
+2×2
2
+
…
+(n-1)
·
2
n-1
+n
·
2
n
,
两式相减得
S
n
=n
·
2
n
-1×2
0
-1×2
1
-
…
-1×2
n-1
=n
·
2
n
-2
n
+1=2
n
(n-1)+1.
【
补偿训练
】
在等比数列
{a
n
}
中
,
首项
a
1
>1,
公比
q>0,n∈N,
且
n>1.
求证
lga
n+1
lga
n-1
<(lga
n
)
2
.
【
证明
】
因为
{a
n
}
为等比数列
,
所以
=a
n-1
·
a
n+1
(n>1).
又因为
a
1
>1,
公比
q>0,n∈N,
且
n>1,
所以
lga
n-1
lga
n+1
<
所以
lga
n+1
lga
n-1
<(lga
n
)
2
.
【
规范解答
】
综合法在几何证明中的应用
【
典例
】
(12
分
)
如图
,
在四棱锥
O-ABCD
中
,
底面
ABCD
为菱形
,OA⊥
平面
ABCD,E
为
OA
的
中点
,F
为
BC
的中点
,
求证
:
(1)
平面
BDO⊥
平面
ACO.
(2)EF∥
平面
OCD.
【
审题
】
抓信息
,
找思路
【
解题
】
明步骤
,
得高分
【
点题
】
警误区
,
促提升
失分点
1:
证明时忽略①处条件的运用导致无法证明面面垂直
,
考试时最多得
2
分
.
失分点
2:
证明时不能正确地构造出平行四边形
,
从而无法得到线线平行如本题中②则会导致第
(2)
问无法证出
,
实际考试中最多得
8
分
.
【
悟题
】
提措施
,
导方向
1.
关注题中的条件
证明时要注意应用题中的条件
,
注意隐含条件的挖掘
,
如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明
,
如本例中
ABCD
为菱形的条件
.
2.
注重定理的应用
几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理
,
注意各个定理的应用格式
,
掌握常见的辅助线的作法
,
寻找好定理所需的条件
,
如本例中构造平行四边形说明线线平行
.
【
类题试解
】
如图
,
正方形
ABCD
和四边形
ACEF
所在的平面互
相垂直
,CE⊥AC,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1.
(1)
求证
:AF∥
平面
BDE.
(2)
求证
:CF⊥
平面
BDE.
【
证明
】
(1)
设
AC
与
BD
的交点是
G.
因为
EF∥AG,
且
EF=1,
AG= AC=1,
所以四边形
AGEF
为平行四边形
,
所以
AF∥EG,
因为
EG
⊂
平面
BDE,AF
⊄
平面
BDE,
所以
AF∥
平面
BDE.
(2)
连接
FG,
因为
EF∥CG,EF=CG=1,
所以四边形
CEFG
为平行四边形
,
又因为
CE=EF=1,
所以四边形
CEFG
为菱形
,
所以
EG⊥CF.
在正方形
ABCD
中
,AC⊥BD.
因为正方形
ABCD
和四边形
ACEF
所在的平面互相垂直
,
所以
BD⊥
平面
CEFG,
所以
BD⊥CF,
又因为
EG∩BD=G,
所以
CF⊥
平面
BDE.
