江西省南昌二中2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含答案

江西省南昌二中2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含答案

南昌二中2020—2021学年度上学期高二开学考试 数 学 试 卷 命题人： 审题人：‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2． 若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3．已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）‎ A． B. ‎ C．若，则 D．若，则 ‎5．已知均为正实数，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．在中， 分别是角所对边的边长，若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎7．等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ - 14 -‎ A. B. C. D.4‎ ‎8.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则   ‎ A.  1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎9．已知中， 的对边长度分别为，已知点为该三角形的外接圆圆心，点分别为边的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.若两个等差数列、的前项和分别为、,且，则使得 ‎ 为整数的正整数的个数是（ ）‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎12.已知是数列的前n项和，，且，若，其中，，则的最小值是（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2018‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知点，则向量在方向上的投影为_______．‎ ‎14.设的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且 - 14 -‎ ‎，则实数k的取值范围是_______．‎ ‎15．设二次函数.若不等式的解集为，则的最大值为__________．‎ ‎16．给出下列结论： ‎ ‎①是的内角，且，则;‎ ‎②若是等比数列，则也为等比数列；‎ ‎③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；‎ ‎④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述结论中正确的有 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题10分)‎ 已知全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数a的取值范围．‎ - 14 -‎ 18． ‎（本小题12分）‎ 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围．‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，若对于，有恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）已知，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．‎ - 14 -‎ 18． ‎（本小题12分）‎ 如图在中，，与交于点．设．‎ ‎（1）用表示；‎ ‎（2） 已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点．设，，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值.‎ - 14 -‎ 18． ‎（本小题12分）‎ 已知数列满足：，2，3， （1）求证：数列是等比数列； （2）令2，3，，如果对任意，都有，求 实数t的取值范围．‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 已知函数，，且函数是偶函数．‎ - 14 -‎ ‎（1）求的解析式；．‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围；‎ ‎（3）若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点 ‎ ‎ ‎ 高二文理分科考试数学试卷参考答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D D C B A B D C D B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ 13. ‎ 2 14. 15. 16. ①④ ‎ 小题详解：‎ ‎1．A ，选A.‎ ‎2．C ，‎ 故，故选C.‎ ‎3．D 因为，所以，因此，选D.‎ ‎4．D 由题意得，对于A中，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不正确；对于B中，时，此时，而 - 14 -‎ ‎，所以不正确；对于C中，若，而此时与不一定是相等向量，所以不正确；对于D中，因为、、是非零向量，若，则是正确，故选D.‎ ‎5.C 因为均为正实数，所以 ‎，选C.‎ ‎6．B 在中，由，根据两角和的正弦公式可得，从而得，解，所以由正弦定理可得 ，故选B.‎ ‎7．A 因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以（1），∵，∴，设，则，所以（1）式可化为，解得.故选A．‎ ‎8.B解：， 设，， 为奇函数， ，， ，故选B．‎ ‎9．D 在三角形中，同理，所以=： ： ，由正弦定理，可得= ，选D.‎ ‎10．C ‎ - 14 -‎ 验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数.‎ ‎11.D解：有题意可得：，， 函数的周期为4，，的图象关于对称． 作出函数的图象如图所示， 函数的零点即为图象与的图像的交点的横坐标， 四个交点分别关于点对称，则，故所有零点之和为8．选D． 12.B解：由题意得，，，，，， ， 以上各式相加得，，，．又，，即，又，，当且仅当 - 14 -‎ 时等号成立，故选B．‎ ‎13．2 由已知，，，，向量在方向上的投影为．‎ ‎14. 解：，且角A、B、C成等差数列， ，解之得，， ，，，， ，，实数k的取值范围是．‎ ‎15. 由题设可得对一切实数恒成立，‎ 取可得且判别式对一切实数恒成立，‎ 即对一切实数恒成立，所以，‎ 令，则代入（当且仅当取等号），故的最大值是.‎ ‎16．①④ ①中，根据三角形的性质可得，再由正弦定理可得，所以是正确的；②中，当等比数列的公比为时，此时，此时数列不是等比数列，所以是错误的；③中，由 - 14 -‎ ‎，则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列，所以是错误的；④中，是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线为角的平分线，所以一定通过的内心，所以是正确的，故选①④．‎ ‎17.解：全集，集合，， 或，． 集，集合，，． ，又， 当即时，； 当即时， 要使，有，又，， 的取值范围是．‎ ‎18．解： 1，由正弦定理可得：，，，，． 2由题意，，可得， 又为锐角三角形，，可得， ，可得，的取值范围是． ‎ - 14 -‎ ‎19. 解：根据题意知，对于，有恒成立， 即恒成立， 设，，所以， 函数在区间上是单调递减的，，； 由对于一切实数x恒成立，可得 由存在，使得成立可得，故， ，，则， ，当且仅当时等号成立，故的最小值为．‎ ‎20．（1）设，则， ． ∵三点共线，‎ ‎∴与共线，故存在实数，使得，即，，∴，消去得，即 ① ‎ ‎∵ ，，‎ 又三点共线∴与共线， 同理可得 ②‎ 联立①②，解得． 故．‎ ‎（2）．∵，‎ ‎，又与共线，故存在实数，使得 - 14 -‎ ‎，即.‎ ‎，消去得，整理得．‎ ‎21.1证明：由题可知：， ， 可得     即：，又 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 2解：由1可得，分 由可得 由可得           ‎ ‎    所以，故有最大值 所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立 所以解得或，所以实数t的范围是   .‎ ‎22.解：，．是偶函数，，．‎ ‎，      ‎ 令，，不等式在 - 14 -‎ 上恒成立，等价于在上恒成立，  ．‎ 令，，则，，  ‎ 令，则，方程可化为，即，也即．‎ 又偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，有一个根为2，．，解得或．‎ 由，得，由，得，零点为0，，     ‎ - 14 -‎