2018-2019学年广东省珠海市第一中学高二上学期开学考试数学试题（Word版）

2018-2019学年广东省珠海市第一中学高二上学期开学考试数学试题（Word版）

‎2018-2019学年广东省珠海市第一中学高二上学期开学考试数学试题 ‎ (考试时间：120分钟 试卷总分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．‎ 第I卷 （选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．已知全集）等于 （ ）‎ ‎ A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}‎ ‎2.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知直线过点，且与直线互相垂直，则直线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎4．不等式x2≥2x的解集是(　　)‎ A．{x|x≥2}　 B．{x|x≤0或x≥2}　C．{x|0≤x≤2}　　D．{x|x≤2}‎ ‎5.直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则以下各点在直线上的是 A． B． C． D．‎ ‎6.已知，满足：，，，则( )‎ ‎ A． B． C．3 D．10 ‎ ‎7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列判断正确的是 A．若,则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若则 ‎ ‎8.如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎9.已知线段的中点为，若点在直线上运动，则点的轨迹方程是 ‎ ‎ A．. B． C． D．‎ ‎10.某几何体的三视图如右所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎11.已知直线与圆交于两点，若，则实数的值为 A． B． C． D． ‎ ‎12.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别，则该四面体外接球的表面积是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13．已知向量，且，则= . ‎ ‎14.把，，从大到小的顺序排列 ‎ ‎15．已知，，则 ． ‎ ‎16．已知函数（其中，）的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；②函数为偶函数；‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分10分）已知点和，直线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在直线上，且为直角，求点的坐标.‎ ‎18（本题满分12分）已知关于的方程．‎ ‎（Ⅰ）若方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若圆与圆外切，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若圆与直线相交于两点，且，求的值．‎ ‎19. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点，轴的非负半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的大小．‎ ‎20.（本题满分12分）已知向量，，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值；（4分）‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的最大值；（5分）‎ ‎（Ⅲ）若关于的方程在区间内有两个实数根，‎ 分别求实数与的取值范围．（5分）‎ ‎22．（本题满分12分）已知圆过点，且圆心在直线上，过点的直线交圆于两点，过点分别做圆的切线，记为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.‎ 高二入学考试答案 ‎1-12：A BC BA D CB ACCB ‎13-16：; a,b,c; ;②③‎ ‎17．(本题满分10分)‎ 解法一：（Ⅰ）∵直线的斜率, ………………………………1分 ‎∴，∴, ……………………………………………………3分 ‎∴直线的方程为 即.（或）…………………………………5分 ‎（Ⅱ）设,由（Ⅰ）得，‎ ‎∴，………………………………6分 又为直角 ‎∴ …………………………8分 ‎∴或,……………………………………………………………9分 ‎∴或. ………………………………………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）设,由（Ⅰ）得，‎ ‎①当且时，直线的斜率存在，由已知得，‎ ‎， ………………………7分 ‎， …………………………………………………8分 ‎②当时，直线的斜率不存在，点，此时为直角 ‎③当时直线的斜率不存在，点，此时不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，或. ………………………………………10分 解法三：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）为直角 点在以为直径的圆上， …………………………………6分 又，‎ 圆的方程为， …………………………………8分 由得或 或………………………………………………10分 ‎18．(本题满分12分)‎ ‎.解：（1）方程可化为 ，‎ 显然 时方程表示圆． …………………………………3分 ‎ ‎ （2）由（1）知圆的圆心为，半径为，‎ 可化为，‎ 故圆心为，半径为．‎ 又两圆外切，‎ 所以，‎ 即，可得．………………………………………………7分 ‎ ‎（3）圆的圆心到直线的距离为 ‎，………………………………………………9分 由则，‎ 又 ，‎ 所以得 ． ……………………………12分 ‎ ‎19．(本题满分12分)‎ 解法一：（Ⅰ）由题意得， ………………………………………………1分 ‎ …………………………………………………………………3分 ‎ …………………………………………5分 ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由题意得，， ……………………………………………7分 ‎ ‎ ……………………………………………8分 ‎ ‎ ……………………………………………………9分 ‎ ‎ ………………………………………………………………10分 ‎ 又是锐角 , ……………………………………………11分 ‎ ……………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）由题意得， ………………………………………………1分 ‎ ………………………………………………………………2分 ‎， ………………………………………………………………… 3分 ‎ ……………………………6分 ‎（Ⅱ）由题意得，，………………………………………7分 ‎ ‎ …………………………………………8分 ‎ …………………………………………10分 ‎ 又是锐角 ……………………………………………11分 ‎ ……………………………………………………………………12分 ‎20.解法一：（Ⅰ）∵………………………………….1分 ‎ ……………………………….2分 ‎ …………………………3分 ‎ 由， ……….….……………4分 解得，…………………..…………………5分 ‎∴ 函数的单调递增区间为………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...........................7分 ‎ . ……………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………10分 ‎（使用余弦二倍角公式正确得1分，切化弦并化简正确得1分）‎ ‎ …………….……….…………………….…11分 ‎ …………….……….……………..…….………..………12分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同法一；................................................ 6分 ‎（Ⅱ），.………………………7分 ‎∴…………………..….…………9分 ‎（使用余弦二倍角公式正确得1分，切化弦并化简正确得1分）‎ ‎…………….……….…………………….……10分 ‎…………….……….…………….…….….…11分 ‎…………….……….……………..…….………..…………12分 ‎21. (本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）∵……………………………………………………1分 ‎……………………………………………………3分 ‎∴………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由 ‎ 得 ‎ ‎∴在区间上是增函数………………………………………………5分 ‎∴当时，在区间上是增函数……………………………………………………6分 若函数在区间上是单调递增函数，则……………………………7分 ‎∴， 解得……………………………………………………8分 ‎∴的最大值是 ‎ ‎（Ⅲ）解法1：方程在区间内有两实数根等价于 直线与曲线（）有两个交点.‎ ‎∵当时， 由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数， 且 ‎ ∴ ‎ 即实数的取值范围是……………………………………………………10分 ‎∵函数的图象关于对称 ‎∴. ‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵函数在内递增 ‎∴‎ ‎∴‎ 的取值范围为. ……………………………………………………12分 解法2：设，则，‎ 方程在区间内有两实数根等价于 直线与曲线，有两个交点.‎ 在上是增函数，在上是减函数， ‎ ‎ 且 ‎ ∴ ‎ 即实数的取值范围是……………………………………………………10分 以下同上.‎ ‎22．(本题满分12分)‎ 解法一：（Ⅰ）设圆的方程为，则 ‎ ………………………………………………2分 ‎（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）‎ 解得, ………………………………………………3分 ‎∴圆的方程为 ………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，直线的交点 ‎ 若为直线上任意一点，则 ‎,得， ‎ ‎∵‎ ‎∴，即处的圆的切线方程，……………5分 同理可得，在点处的圆的切线方程为 ………………6分 由直线过点 ‎∴,, ……………………………………8分 ‎∴点满足方程 ‎ 即直线的方程为 ， ……………………………………10分 又直线过点 ‎∴，即 ……………………………………………11分 ‎∴直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为. …12分 解法二：（Ⅰ）设圆的方程为，则 ‎………………………………………………2分 ‎（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）‎ 解得 ………………………………………………3分 圆的方程为 ………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，为直线上任意一点， ‎ 由,得， ‎ ‎∵∴，即处的圆的切线方程，‎ 同理处的圆的切线方程分别为， ……………………6分 ‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ‎ 由得 ‎ ‎∴在点处的切线方程分别为，， ‎ 由得 此时切线的交点为, ……………………………………………7分 当直线的斜率为0时，直线的方程为 由得 ‎∴在点处的圆的切线方程， ‎ 此时切线的交点为. ……………………………………………8分 ‎∴直线的方程为. …………………………………………9分 ‎②当直线的斜率存在时,直线的方程为，即，‎ ‎ ‎ 由且,得 ……………………10分 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴当直线的斜率存在时,直线的交点坐标满足方程.‎ 综上所述，直线的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为 ‎. ………………………………………………………12分 解法三：（Ⅰ）设圆的方程为 弦的中点 又…………………………………………………………1分 ‎∴的垂直平分线的方程：‎ ‎ 即………………………………………………2分 圆心是的垂直平分线与直线的交点 ‎∴由，得，即圆心……………………………3分 又半径 ‎∴圆的方程为 ………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）同解法一